结论：公司辞退员工没有提前一个月通知，是否需要赔偿取决于辞退的合法性及具体情形。若公司构成违法解除，员工有权要求赔偿；若公司合法解除但未提前通知，则可能需支付代通知金或经济补偿金。
详细分析：
合法解除且无需赔偿的情形：
- 若公司辞退员工符合《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形，如员工严重违反规章制度、严重失职等，且公司有确凿证据支持，则无需提前通知，亦无需支付代通知金或经济补偿金。这种情况下，公司的解除行为是合法的，员工无权要求赔偿。
合法解除但需支付代通知金或经济补偿金的情形：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，若员工因患病不能胜任工作、不能胜任工作经过培训或调岗后仍不能胜任、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化等情形，公司未提前三十日以书面形式通知员工而解除劳动合同的，应额外支付一个月工资作为代通知金。
- 同时，若员工因公司合法原因（非过错性解除）被辞退，且公司未提前通知，除代通知金外，还需按员工在本单位工作年限支付经济补偿金。具体为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。这里的“一个月工资”指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
违法解除需支付赔偿金的情形：
- 若公司辞退员工不属于上述法定情形，或虽属于可解除情形但未提前一个月书面通知，则构成违法解除。此时，员工有权选择要求继续履行劳动合同或要求公司支付赔偿金。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，公司应按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。即，员工在公司工作的每一年，都能获得两个月工资的赔偿。例如，若员工在公司工作了3年，则公司需支付6个月的工资作为赔偿金。
操作建议与注意事项：
- 判断解除合法性：员工在面临辞退时，应首先判断公司的解除行为是否合法，并收集、保留相关证据以维护自己的权益。
- 协商与投诉：若认为公司构成违法解除，员工可先与公司进行协商，要求按照法律规定支付相应赔偿或补偿。协商不成时，可向劳动监察部门投诉，或依法向劳动仲裁机构申请仲裁。
- 法律行动：对仲裁结果不服的员工，有权向法院提起诉讼，要求公司承担法律责任。
示例说明：
假设员工小李在公司工作了5年，因公司业务调整需要裁员，但公司未提前一个月通知小李即解除劳动合同。若公司无法证明此次裁员符合法定情形或程序合法，则构成违法解除。此时，小李有权要求公司支付赔偿金，即5年×2个月工资/年=10个月的工资作为赔偿。
综上所述，公司未提前一个月通知辞退员工的赔偿问题，需根据解除行为的合法性、员工的工作年限及具体情况来确定。员工应充分了解相关法律法规，积极维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。