结论：试用期员工因抑郁症，公司并不能随意辞退。是否可以辞退需根据具体情况，结合相关法律法规进行判断。

一、医疗期内的保护

根据《中华人民共和国劳动合同法》及《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因患病（包括抑郁症）或非因工负伤需要停止工作医疗时，享有医疗期。在医疗期内，公司不得随意解除劳动合同，且需支付不低于最低工资标准80%的病假工资或疾病救济费。医疗期的具体长度根据员工实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，一般为3-24个月。

二、试用期解除劳动合同的法定情形

尽管医疗期内公司不得随意辞退员工，但在某些特定情况下，公司仍可能合法解除劳动合同。这些情形主要包括：

1. 试用期不符合录用条件：若劳动合同中明确约定了试用期的考核标准，且该标准包含心理健康评估，同时公司能证明抑郁症员工确实无法满足岗位的核心要求（如持续情绪失控影响团队协作），则公司可依据《劳动合同法》第三十九条解除劳动合同。但需注意，录用条件必须合法合理，考核过程也需程序正当。

2. 不能胜任工作经调岗或培训仍无法胜任：若抑郁症导致员工工作能力显著下降，公司应先安排调岗或提供职业培训。若经合理调整后，员工仍无法完成基本工作任务，则公司可依据《劳动合同法》第四十条提前三十日书面通知解除合同，并支付经济补偿金。此情形下，公司需提供完整的绩效考核记录及调岗培训证明。

3. 严重违反规章制度：若公司规章制度明确规定了具体的违纪行为（如连续旷工超过X天、暴力威胁同事等），且抑郁症员工的行为确已达到该标准，则公司可依法解除合同。但需注意，规章制度的制定须经民主程序并向劳动者公示。

三、违法解除的法律后果

若公司违反法律规定解除劳动合同，将面临以下责任：

1. 继续履行合同义务；
2. 按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金（经济补偿按每满一年支付一个月工资计算）；
3. 若未及时足额支付劳动报酬或经济补偿，劳动行政部门可责令限期支付，逾期加付50%-100%赔偿金。

四、建议与总结

对于试用期员工因抑郁症是否可以被辞退的问题，公司应谨慎对待。在处理此类问题时，建议公司采取以下措施：

• 充分了解员工的病情及工作能力情况，与员工进行积极沟通；
• 尝试调整岗位或提供其他合理安排，以支持员工度过难关；
• 在必要时寻求专业法律顾问的帮助，以确保处理方式的合法性和合规性。

总之，处理试用期员工因抑郁症的辞退问题需谨慎对待，既要保障员工的合法权益，也要维护公司的正常运营秩序。通过依法依规的处理方式，可以有效避免潜在的法律风险和经济损失。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。