针对私人包工头欠农民工工资的问题，您可以向以下部门寻求帮助来解决：

1. 当地劳动保障监察机构：

   • 职能：劳动保障监察机构是负责监督用人单位遵守劳动保障法律法规的专门机构。他们有权对用人单位（包括私人包工头）的工资支付情况进行检查，并可以对违法行为进行处罚。
   • 行动建议：您可以携带相关证据（如工作证、工资条、工作记录等）前往当地劳动保障监察机构投诉，他们会根据您的投诉进行调查，并尽力帮助您追回欠薪。

2. 当地劳动争议仲裁委员会：

   • 职能：劳动争议仲裁委员会是处理劳动争议的专门机构。如果包工头与您之间存在明确的劳动关系，并且因工资支付问题产生争议，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
   • 行动建议：在申请仲裁前，建议您先收集好相关证据，如劳动合同、工资支付记录、工作记录等。仲裁委员会会根据双方提供的证据进行裁决，如果裁决支持您的诉求，包工头需要履行裁决结果。

3. 当地人民法院：

   • 职能：如果劳动争议仲裁委员会的裁决未能得到执行，或者您与包工头之间没有明确的劳动关系但存在事实劳动关系且欠薪事实明确，您可以向当地人民法院提起诉讼。
   • 行动建议：在提起诉讼前，同样需要收集好相关证据。法院会根据事实和法律规定进行判决，如果判决支持您的诉求，包工头需要按照判决结果支付欠薪。

额外建议：

• 保留证据：在整个过程中，保留好所有与工作、工资支付相关的证据是非常重要的。这些证据将有助于您证明自己的诉求，并增加追回欠薪的成功率。
• 寻求法律援助：如果您在处理欠薪问题过程中遇到困难，或者对法律程序不熟悉，可以寻求法律援助机构的帮助。他们可以提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助您更好地维护自己的权益。
• 联合行动：如果还有其他农民工也遭遇了同样的欠薪问题，您可以考虑联合起来共同投诉或提起诉讼。这样不仅可以增加追回欠薪的成功率，还可以形成更大的社会影响力，促使相关部门更加重视和解决此类问题。

最后，处理欠薪问题可能需要一定的时间和耐心。但请相信，只要您坚持维护自己的权益，并寻求正确的帮助和支持，问题最终会得到解决。如果您在处理过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。