工程拖欠农民工工资时，最快且有效的解决办法主要有以下几种途径，你可以根据实际情况选择最适合自己的方式：

1. 与用人单位协商

   • 适用情况：如果拖欠金额不大，或者与用人单位的关系尚未完全破裂，可以尝试直接与包工头、项目经理或用人单位负责人沟通。
   • 操作步骤：明确表达支付工资的诉求，了解拖欠的具体原因和支付时间，要求对方出具书面承诺，明确还款期限及方式，并保留协商过程中的录音、聊天记录等证据。
   • 优势：成本低、效率高，若成功可立即解决问题，避免矛盾升级。
   • 局限：若对方无诚意或资金链断裂，可能无法达成协议。

2. 向劳动监察部门投诉

   • 法律依据：根据《劳动保障监察条例》，劳动监察部门有权责令用人单位限期支付工资。
   • 操作步骤：收集劳动合同、考勤记录、工资条等证据，向用工所在地的劳动保障监察机构提交投诉材料，并配合调查提供补充证据。
   • 处理时效：一般立案后60个工作日内完成调查，情况复杂的可延长30个工作日。
   • 优势：行政部门可直接介入，对违法单位施加压力，促使尽快支付工资。

3. 申请支付令

   • 适用条件：债权债务关系明确，且用人单位承认拖欠事实。
   • 操作步骤：向法院提交书面申请，包括请求给付的金钱数量、所依据的事实和证据。法院审查后会在15日内向用人单位发出支付令，要求其限期清偿债务。
   • 优势：程序相对简便，若用人单位未提出异议且不履行支付令，可申请强制执行。
   • 注意：需确保事实清楚、证据充分，且用人单位对拖欠事实无争议。

4. 申请劳动仲裁

   • 适用条件：协商无果，且需要法律强制力保障权益时。
   • 操作步骤：准备仲裁申请书及相关证据（如工资流水、工作证等），向劳动争议仲裁委员会提交申请。等待开庭审理并主张权益。
   • 处理周期：自受理之日起45日内结案，案情复杂可延期15日。
   • 结果执行：若裁决支持诉求，用人单位拒不履行可向法院申请强制执行。
   • 优势：仲裁裁决具有强制执行力，是法律维权的核心途径。

5. 提起诉讼

   • 启动条件：对仲裁结果不满意或在法定期限内未获仲裁支持。
   • 操作流程：在收到仲裁裁决书15日内向法院起诉，由法院通过司法程序追讨欠薪。
   • 注意事项：诉讼成本较高且耗时较长，建议优先选择仲裁。但若仲裁无法解决问题，诉讼是最终的法律救济途径。

6. 寻求特殊措施帮助

   • 法律援助：经济困难者可向当地司法局申请免费律师服务，获取专业指导和支持。
   • 工会帮助：已加入工会的农民工可通过工会组织协调解决，工会可代表劳动者与用人单位协商谈判。
   • 媒体曝光：在合法前提下，通过媒体施压可能促使问题更快解决，但需避免侵犯隐私或诽谤。

综合建议：

• 保留证据：无论采取何种方式维权，保留好所有与劳动关系及工资拖欠相关的证据至关重要，如劳动合同、工资条、考勤记录等。
• 及时行动：拖欠工资问题应尽快解决，避免拖延导致权益受损加剧。
• 灵活选择：根据自身实际情况和证据掌握情况，灵活选择上述途径进行维权。

面对工程拖欠农民工工资的问题，你可以根据具体情况选择合适的维权途径。如果需要进一步的法律帮助或咨询，可以直接向我提问，我会为你提供专业的法律支持。