结论：物业应当管理小区绿化带被沿街店铺侵占的问题，这是其职责所在。若物业不履行管理职责，业主有权采取相应措施维护自身权益。

分析如下：

1. 物业的职责范围：

   • 根据《物业管理条例》的相关规定，物业服务企业应当按照物业服务合同的约定，提供相应的服务，包括对房屋及配套的设施设备和相关场地进行维修、养护、管理，维护物业管理区域内的环境卫生和相关秩序的活动。小区绿化带作为小区配套设施的一部分，其维护和管理自然属于物业的职责范围。

2. 侵占行为的性质：

   • 沿街店铺侵占小区绿化带，属于对小区公共区域的非法占用，侵犯了全体业主的共同权益。这种行为不仅破坏了小区的绿化环境，还可能影响小区的整体美观和居住品质。

3. 物业的管理义务：

   • 物业有义务对小区内的公共区域进行管理和维护，包括制止和纠正任何非法占用公共区域的行为。对于沿街店铺侵占绿化带的情况，物业应当及时采取措施，如与侵占者沟通、发出整改通知、报告相关部门等，以恢复绿化带的正常使用。

4. 业主的维权途径：

   • 如果物业不履行管理职责，业主有权向物业提出投诉和要求整改。若物业仍不作为，业主可以向相关部门（如房管局、城管局等）举报，要求相关部门介入处理。此外，业主还可以通过业主大会或业主委员会等渠道，共同决定采取更进一步的法律行动，如起诉物业或侵占者等。

法律建议：

• 对于物业：应加强对小区公共区域的管理和维护，及时制止和纠正任何非法占用行为，确保小区环境的整洁和美观。同时，应积极与业主沟通，了解业主的需求和意见，不断提升服务质量。

• 对于业主：应增强法律意识，了解自己的权益和义务。在发现小区绿化带被侵占等违法行为时，应及时向物业反映并要求处理。若物业不作为，应积极通过合法途径维护自身权益，如向相关部门举报或寻求法律援助等。

可能后果：

• 如果物业不履行管理职责，可能会面临业主的投诉和举报，甚至可能因此承担法律责任。同时，小区的整体环境和居住品质也会受到影响，进而可能影响物业的声誉和业务发展。

• 如果业主不积极维护自身权益，可能会导致小区公共区域被持续侵占和破坏，进而影响全体业主的共同利益和生活质量。因此，业主应积极行动起来，共同维护小区的良好环境和秩序。