若犯罪分子被判处拘役一个月且存在立功表现，法院会根据立功的具体情形，依法对其从轻或减轻处罚，甚至可能免除处罚。具体分析如下：

1. 立功的认定与法律效果
   根据《刑法》第六十八条，立功是指犯罪分子有揭发他人犯罪行为、查证属实的，或者提供重要线索从而得以侦破其他案件等表现。立功分为一般立功和重大立功：

   • 一般立功：法院可酌情从轻或减轻处罚；
     
   • 重大立功（如揭发重大犯罪、协助抓捕重大犯罪嫌疑人等）：法院应当减轻或免除处罚。
     若拘役一个月的犯罪分子存在立功，法院会结合立功的情节、社会危害性等因素，在原判刑期基础上调整刑罚。

2. 拘役的特殊性
   拘役是短期自由刑，期限为1个月至6个月。若原判刑期为1个月，立功后可能面临两种结果：

   • 从轻或减轻处罚：刑期可能缩短（如减为15日），但需注意拘役的最低期限为15日（《刑法》第四十二条），若原判已为最低期限，则可能通过其他方式体现从宽（如缓刑）；
     
   • 免除处罚：若立功情节显著，法院可能直接免除刑罚，但需严格符合“重大立功”或“犯罪情节轻微”等条件。

3. 实务中的考量因素
   法院在处理此类案件时，会综合评估以下因素：

   • 立功的真实性、及时性及对案件侦破的实际贡献；
     
   • 犯罪分子的主观恶性、悔罪表现；
     
   • 原判刑罚的轻重与立功情节的匹配性。
     例如，若犯罪分子在服刑期间立功，法院可能通过减刑程序调整刑期；若在判决前立功，则直接在量刑时予以体现。

建议：若您或他人涉及此类情况，可进一步提供立功的具体情节（如揭发的犯罪类型、协助抓捕的嫌疑人重要性等），以便更精准地分析法律后果。如有疑问，可直接向我咨询，我会结合具体案情为您详细解答。