结论：轻伤一级案件在一定条件下可以就民事赔偿部分进行“私了”，但刑事责任的追究需根据具体情况及法律规定来确定，且私了并不能完全排除法律追究的可能性。

一、民事赔偿部分的“私了”

在轻伤一级案件中，双方当事人可以就民事赔偿问题进行协商并达成和解。这包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费以及必要的营养费等合理费用的赔偿。一旦双方达成一致，应签订赔偿协议以明确权利和义务，避免后续纠纷。

例子：假设受害者因轻伤一级花费了医疗费3万元，误工损失2万元，双方可以协商加害方支付这些费用以及额外的精神损害抚慰金，从而达成和解。

二、刑事责任的追究

1. 自诉案件：

   • 如果轻伤一级案件属于自诉案件范畴（这通常取决于案件的具体性质和当地司法实践），受害人有权直接向人民法院提起刑事诉讼。在法院作出判决之前，自诉人与被告人可以自行和解或撤回自诉。若达成和解，受害人撤回起诉后，刑事程序即终止。

2. 公诉案件：

   • 对于由公安机关立案侦查、检察机关提起公诉的轻伤一级案件，双方当事人虽可就民事赔偿部分达成和解，但刑事程序通常不会因此直接终止。犯罪嫌疑人、被告人真诚悔罪并通过赔偿损失、赔礼道歉等方式获得被害人谅解的，公安机关和人民检察院可以向法院提出从宽处理的建议。法院在量刑时会考虑和解情节，但犯罪行为的性质恶劣时，仍会依法追究刑事责任。

三、“私了”的风险与注意事项

1. 法律效力风险：即便双方达成了和解协议并履行，若存在欺诈、胁迫等情形，当事人仍有可能通过法律途径撤销该协议。

2. 公平公正问题：私了可能导致受伤者因急于解决问题而接受不利条件，加害者则可能借此逃避法律责任。因此，在协商过程中，双方应确保协议的公平性和合理性。

3. 法律追究可能性：任何形式的身体伤害都可能构成违法行为，需要受到法律制裁。私了不能完全排除法律追究的可能性，若后续出现争议或反悔，仍需通过法律途径解决。

四、建议

1. 及时报警并寻求医疗救助：在发生轻伤一级案件时，首先应报警并寻求医疗救助。警方将进行调查以确定责任归属，同时受伤者也有权要求加害者进行赔偿。

2. 谨慎协商并签订书面协议：如果双方决定就民事赔偿部分进行协商，应谨慎对待并签订书面协议。协议中应明确赔偿项目、金额以及支付方式等关键条款，以避免后续纠纷。

3. 咨询专业律师：在处理轻伤一级案件时，由于涉及刑事和民事两个方面的法律问题，建议咨询专业律师以获取更全面的法律建议和指导。作为林佳庆律师，我擅长处理刑事辩护、合同纠纷、婚姻家庭、交通事故、工伤赔偿、侵权纠纷等领域的问题，你可以直接向我咨询相关法律问题。

综上所述，轻伤一级案件在一定条件下可以就民事赔偿部分进行“私了”，但刑事责任的追究需根据具体情况及法律规定来确定。在处理此类案件时，应综合考虑刑事与民事两个方面，并遵循法律规定的程序和要求。