关于使用没有备案的公章是否有效的问题，这并非一个简单的“是”或“否”的答案，而是需要根据具体情况来进行综合判断。
首先，我们要明确的是，公章的备案制度主要是为了确保公章的真实性和合法性，便于管理和监督。在大多数情况下，经过备案的公章在法律上具有更高的认可度和效力。然而，这并不意味着没有备案的公章就一定无效。
从法律实践的角度来看：
合同效力：如果一份合同上加盖的是没有备案的公章，但合同内容真实、合法，且双方当事人均认可该合同，那么这份合同在法律上仍然可能是有效的。但是，如果合同的一方对公章的真实性提出质疑，并能够提供证据证明该公章并非备案公章，且无法证明使用该公章的人具有代表权或代理权，那么合同的效力就可能会受到质疑。
举证责任：在涉及非备案公章的纠纷中，举证责任通常落在主张合同有效的一方。即，如果一方主张合同有效，那么它需要提供证据证明使用非备案公章的人具有代表权或代理权，或者证明对方已经认可了该公章的使用。
法律后果：如果因为使用非备案公章而导致合同无效或产生其他法律纠纷，使用非备案公章的一方可能需要承担相应的法律责任，包括赔偿损失等。
从实际操作的角度来看：
风险规避：为了避免因使用非备案公章而带来的法律风险，建议企业和单位在刻制公章时选择具有合法经营资质的公章刻制单位，并确保公章经过备案。
内部管理：企业和单位应加强对公章的管理，明确公章的使用范围和审批程序，防止公章被滥用或盗用。
法律咨询：在涉及重要合同或法律事务时，建议咨询专业律师的意见，以确保合同的合法性和有效性。
举例说明：
以您提供的案例为例，赵某持有的借款手续上加盖的公章经鉴定与粮油公司在工商档案中留存的印章不是同一枚印章，即借条上的公章为非备案公章。由于赵某未能提供证据证明粮油公司曾使用过借款手续上加盖的印章，也无法确定赵某与粮油公司之间存在民间借贷法律关系，因此法院未支持赵某的诉讼请求。这个案例就说明了使用非备案公章可能带来的法律风险。
综上所述，使用没有备案的公章并不一定无效，但会增加法律风险和不确定性。为了确保合同的合法性和有效性，建议企业和单位在刻制和使用公章时严格遵守相关法律法规和内部管理规定。