结论：婚姻登记申请书上有双方的签名和指纹但没有结婚证，一般不能算作法律上的夫妻关系。以下从多个角度进行详细分析：
一、法律上的夫妻关系认定标准
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，要求结婚的男女双方必须亲自到婚姻登记机关申请结婚登记。符合本法规定的，予以登记，发给结婚证。完成结婚登记，即确立婚姻关系。未办理结婚登记的，应当补办登记。这意味着，结婚证是证明婚姻关系成立的重要法律文件，没有结婚证，在法律上通常难以直接认定夫妻关系的存在。
二、婚姻登记申请书的法律意义
婚姻登记申请书是男女双方在申请结婚登记时填写的文件，它表明了双方有结婚的意愿，并提供了相关的个人信息。然而，婚姻登记申请书本身并不具有证明婚姻关系成立的法律效力。它只是申请结婚登记的一个环节，是婚姻登记机关审查双方是否符合结婚条件、决定是否发给结婚证的依据之一。
三、没有结婚证的可能情况及后果
未完成登记手续：如果双方只是填写了婚姻登记申请书，但并未完成后续的登记手续（如提交相关证件、进行审查等），或者婚姻登记机关未发给结婚证，那么双方在法律上并未确立婚姻关系。
结婚证遗失或损毁：如果双方已经完成了结婚登记，但结婚证遗失或损毁，那么双方仍然是法律上的夫妻。不过，在这种情况下，建议及时补办结婚证，以便在需要时证明婚姻关系。
非法同居或事实婚姻：在某些情况下，双方可能并未办理结婚登记，但以夫妻名义共同生活多年，形成了事实上的婚姻关系。然而，在我国法律中，事实婚姻并不等同于法律上的婚姻关系。除非双方符合补办结婚登记的条件并补办了登记，否则在法律上仍不被视为夫妻。
四、建议与措施
补办结婚证：如果双方已经完成了结婚登记但结婚证遗失或损毁，建议及时到婚姻登记机关补办结婚证，以便在需要时证明婚姻关系。
咨询法律专业人士：如果双方对婚姻关系存在疑问或争议，建议咨询法律专业人士（如我，吴桥山律师，专注于婚姻家庭领域），以便了解具体的法律权益和义务，并采取相应的法律措施。
保留相关证据：如果双方确实存在婚姻关系但无法提供结婚证，建议保留其他能够证明婚姻关系的证据（如共同生活的照片、视频、证人证言等），以便在需要时提供证明。
总结来说，婚姻登记申请书上有双方的签名和指纹但没有结婚证，在法律上一般不能算作夫妻关系。如果双方确实存在婚姻关系但无法提供结婚证，建议及时补办或咨询法律专业人士以维护自己的合法权益。