如果权利机关故意违背事实，这是严重违反法律和职责的行为，公民可以通过法律途径进行监督和救济。具体来说，可以从以下几个角度进行分析：

1. 监督与投诉机制
   权利机关的行为受到法律严格约束，若其故意违背事实（如行政机关作出错误行政决定、司法机关枉法裁判等），公民可依法通过以下途径监督：

   • 行政复议：对行政机关的具体行政行为不服，可向上一级行政机关或法定机构申请复议，要求撤销或变更违法决定。
     
   • 行政诉讼：直接向法院提起行政诉讼，请求法院审查行政行为的合法性，若确认违法，法院可判决撤销、变更或确认无效。
     
   • 司法监督：对司法机关（如法院、检察院）的违法行为，可通过上诉、申诉、抗诉等程序提出异议，或向纪检监察机关举报司法人员违法违纪行为。
     

2. 法律责任追究
   权利机关故意违背事实可能承担多重法律责任：

   • 国家赔偿责任：若因违法行为导致公民、法人合法权益受损，受害人可依据《国家赔偿法》要求赔偿（如错误拘留、错误判决等）。
     
   • 纪律处分与刑事责任：涉事公职人员可能面临行政处分（如警告、记过、开除等）；若行为构成犯罪（如滥用职权罪、徇私枉法罪等），将依法追究刑事责任。
     

3. 公民救济途径

   • 证据固定与申诉：公民应第一时间收集、保存相关证据（如书面文件、录音录像、证人证言等），通过法定程序提出申诉或举报。
     
   • 媒体与舆论监督：在合法合规的前提下，可通过媒体曝光形成社会监督压力，但需注意避免侵犯他人合法权益或干扰司法程序。
     
   • 立法与政策倡导：若问题反映系统性漏洞，可向人大代表、政协委员或相关部门提出立法、政策建议，推动制度完善。
     

总结：权利机关的权力受法律严格限制，故意违背事实的行为必然面临法律追责。公民应积极运用法律赋予的监督权、救济权，通过合法途径维护自身权益。若遇到具体问题，可直接向我咨询，我将结合事实与法律提供详细解决方案。