结论：私家车占压绿地造成带泥上路污染道路的行为，通常由城市管理部门或相关执法机构进行管理，并可以依法进行处罚。
分析说明：
管理主体：
- 在大多数城市中，城市管理部门（如城管局、市政园林局等）负责城市绿地的保护和管理，同时也负责城市道路的清洁和维护。因此，当私家车占压绿地并造成带泥上路污染道路时，城市管理部门通常是首要的管理主体。
- 另外，如果污染行为严重到构成交通违章或影响公共安全，交通管理部门（如交警部门）也可能介入处理。
法律依据：
- 根据《城市绿化条例》等相关法律法规，任何单位和个人都不得擅自占用城市绿地或改变绿地用途。私家车占压绿地显然违反了这一规定。
- 同时，根据《城市市容和环境卫生管理条例》等法规，任何单位和个人都有义务保持城市环境的整洁，不得随意倾倒垃圾、排放污水或造成其他污染。私家车带泥上路污染道路，也违反了这一规定。
处罚措施：
- 对于私家车占压绿地的行为，城市管理部门可以依法责令车主限期改正，恢复绿地原状，并可能处以罚款。
- 对于带泥上路污染道路的行为，城市管理部门或交通管理部门可以依法对车主进行处罚，包括罚款、责令清理污染路面等。如果污染行为严重，还可能涉及更严厉的行政处罚或刑事责任。
特殊场景：
- 如果私家车占压绿地并造成带泥上路污染道路的行为发生在特定区域（如住宅小区内），则可能由小区物业管理公司或业主委员会进行管理。但即便如此，如果污染行为影响了公共环境或道路安全，城市管理部门或交通管理部门仍可能介入处理。
行动建议：
- 如果您发现私家车占压绿地并造成带泥上路污染道路的行为，可以向当地城市管理部门或交通管理部门举报。
- 作为车主，应自觉遵守相关法律法规，不随意占压绿地或污染道路。如果确实需要临时停车或行驶在绿地附近，应采取必要措施防止污染道路。
后续思考：
- 此类事件的发生往往与车主的法律意识和环保意识不足有关。因此，加强相关法律法规的宣传和教育，提高车主的法律意识和环保意识，是减少此类事件发生的有效途径。
- 同时，城市管理部门和交通管理部门也应加强巡查和执法力度，及时发现并处理此类违法行为，维护城市环境的整洁和道路的安全。
如有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。