结论前置：试用期公司可以开除员工，但必须满足法定条件并严格遵循法定程序。若用人单位违法解除劳动合同，将可能面临支付赔偿金等法律责任。以下从合法开除的情形、需提前通知并支付经济补偿的情形、违法开除的后果以及辞退员工的程序问题四个方面进行详细阐述：
合法开除的情形
不符合录用条件：
- 用人单位需在招聘时明确具体的录用条件（如专业技能、学历要求、工作经验等），并让劳动者知晓。例如，公司招聘一名会计，要求具备会计从业资格证且有两年相关工作经验，这些条件应在招聘时明确告知应聘者。
- 在试用期内，用人单位应对员工进行考核，留存相关证据，以证明员工确实不符合录用条件。比如，若该会计在试用期内频繁出现账务错误，且经考核评估确认其不具备相应的专业能力，公司可依法解除劳动合同。
严重违反用人单位规章制度：
- 规章制度需合法、合理，经民主程序制定，并向劳动者公示或告知。例如，公司规定员工不得在工作时间内从事与工作无关的活动，如玩游戏、炒股等，且该规定经过职工代表大会讨论通过并公示。
- 若员工严重违反规章制度，如无故旷工、严重失职、营私舞弊等，给用人单位造成重大损害，用人单位可解除劳动合同。比如，员工一个月内累计旷工5天，严重违反了公司的考勤制度，公司可依法开除。
其他法定情形：
- 员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或经用人单位提出拒不改正。例如，员工在试用期内同时受雇于另一家公司，且因该兼职工作导致在本公司的工作任务无法按时完成，经公司提出后仍拒不改正，公司可解除劳动合同。
- 员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危使用人单位违背真实意思订立或变更劳动合同，导致合同无效。比如，员工在应聘时提供虚假的学历证书，使公司误以为其具备相应的学历而录用，该劳动合同因欺诈而无效，公司可解除劳动合同。
- 员工被依法追究刑事责任。例如，员工在试用期内因犯罪被判处有期徒刑，公司可依法开除。
需提前通知并支付经济补偿的情形
- 劳动者患病或非因工负伤：医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位需提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，可解除劳动合同。例如，员工在试用期内患病，医疗期满后仍无法从事原会计工作，且公司无法为其安排其他合适的工作，公司需提前三十日书面通知员工或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并支付经济补偿。
- 劳动者不能胜任工作：经培训或调整工作岗位仍不能胜任，用人单位同样需提前三十日书面通知或额外支付一个月工资，并可解除劳动合同，同时支付经济补偿。比如，员工在试用期内作为销售人员，业绩一直不达标，经公司培训后仍无法胜任销售工作，公司可提前三十日书面通知员工或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并支付经济补偿。
违法开除的后果
- 若用人单位在试用期内随意开除员工，不符合上述法定情形，即构成违法解除劳动合同。
- 劳动者有权要求用人单位继续履行劳动合同，或要求用人单位按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金计算方式如下：按劳动者在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年按一年计；不满六个月支付半个月工资。例如，员工在试用期内工作4个月被违法开除，公司需支付半个月工资的两倍，即一个月工资作为赔偿金。
辞退员工的程序问题
- 说明辞退理由：用人单位应明确向员工说明辞退的具体理由，确保员工了解被辞退的原因。
- 出具解除劳动合同证明：解除劳动合同后，用人单位需为员工出具相应的证明文件，证明双方劳动合同已解除。
- 办理档案和社会保险关系转移手续：用人单位应在十五日内为员工办理档案和社会保险关系的转移手续，确保员工权益不受损害。
综上所述，试用期员工公司虽可开除，但必须严格遵守相关法律法规及程序要求，以确保合法合规，避免不必要的法律风险和经济损失。如果你在劳动工伤方面还有其他问题，欢迎直接向我咨询。