在留置期间发现公安机关管辖的犯罪需要逮捕的，应当由监察机关将案件移送至公安机关，由公安机关依法进行逮捕程序。具体处理方式如下：
案件移送：
- 根据《中华人民共和国监察法》第三十四条的规定，人民法院、人民检察院、公安机关、审计机关等国家机关在工作中发现公职人员涉嫌贪污贿赂、失职渎职等职务违法或者职务犯罪的问题线索，应当移送监察机关，由监察机关依法调查处置。
- 反之，如果监察机关在调查过程中发现被调查人存在公安机关管辖的犯罪行为，也应当将案件移送至公安机关，由公安机关依法进行侦查。
逮捕程序：
- 公安机关在接收到监察机关移送的案件后，如果认为需要逮捕犯罪嫌疑人，应当按照《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，先对犯罪嫌疑人进行拘留，并在拘留后的三日以内提请人民检察院审查批准。
- 在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
- 人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。如果人民检察院不批准逮捕，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。
协作与配合：
- 在整个过程中，监察机关和公安机关应当保持密切的协作与配合，确保案件的顺利移送和侦查工作的顺利进行。
- 监察机关应当向公安机关提供必要的证据材料和案件情况说明，以便公安机关能够迅速、准确地开展侦查工作。
- 公安机关在侦查过程中，如果发现新的职务违法或者职务犯罪线索，也应当及时移送监察机关处理。