在刑事案件立案后，犯罪嫌疑人通常是不被允许出国的，因为这可能妨碍刑事诉讼程序的顺利进行，甚至被视为逃避法律责任。以下是对这一问题的详细分析：
一、强制措施与出国限制
取保候审：
- 如果犯罪嫌疑人被取保候审，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定，未经执行机关批准，不得离开所居住的市、县。出国显然违反了这一规定，因此，在取保候审期间，犯罪嫌疑人通常无法出国。
监视居住：
- 被监视居住的犯罪嫌疑人，未经执行机关批准，同样不得离开执行监视居住的处所。这种情况下，出国更是被严格禁止的。
逮捕：
- 如果犯罪嫌疑人被逮捕，将被羁押在看守所等场所，完全失去人身自由，自然无法出国。
二、出境管控与法律后果
出境管控：
- 即便犯罪嫌疑人没有被采取上述强制措施，只是作为犯罪嫌疑人，其信息也会被司法机关录入相关系统进行管控。边检机关在检查时若发现犯罪嫌疑人试图出境，会依据相关规定阻止其出国。
法律后果：
- 犯罪嫌疑人选择出国可能被视为逃避法律责任，对案件的调查和审理产生不利影响。此外，出国可能导致案件性质变得更加严重，犯罪嫌疑人可能面临被引渡回国接受审判的风险，甚至可能在国际上受到通缉。
三、特殊情况下的出国申请
虽然通常情况下犯罪嫌疑人不得出国，但在极少数情况下，如果司法机关认为犯罪嫌疑人没有逃跑风险且不妨碍刑事诉讼进程，经过严格的审批程序，有可能批准其出国。然而，这种情况极为少见，且需要满足一系列严格的条件。
四、建议与总结
留在国内配合调查：
- 为了避免不必要的法律风险和对案件的不利影响，建议犯罪嫌疑人留在国内，积极配合司法机关的调查和审理工作。
咨询专业意见：
- 如果犯罪嫌疑人确实有特殊情况需要出国，应事先咨询并申请相关司法机关的批准。在此过程中，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到妥善保护。
遵守法律法规：
- 无论是否被限制出境，犯罪嫌疑人都应严格遵守法律法规，不得逃避法律责任或妨碍刑事诉讼程序的顺利进行。
综上所述，刑事案件立案后，犯罪嫌疑人通常是不被允许出国的。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。