结论前置：抵押权人出售车辆后，该车辆的违法行为原则上与抵押权人无关，但具体还需根据抵押权人出售车辆的行为是否合法以及违法行为发生的时间点等因素综合判断。
一、抵押权人合法出售车辆后，违法行为与抵押权人无关
合法出售的情形：
- 若抵押权人在出售车辆前，已经通过合法途径（如与抵押人协商一致、通过法院拍卖等）取得了车辆的所有权或处置权，那么其出售车辆的行为就是合法的。
- 在此情况下，车辆出售后的违法行为，如交通违章、事故责任等，均应由车辆的实际使用人或所有人承担，与抵押权人无关。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，抵押权人在合法取得车辆处置权后，其出售车辆的行为受法律保护。车辆出售后的风险转移给买受人，抵押权人不再对车辆的后续行为负责。
二、抵押权人非法出售车辆后，可能需承担一定责任
非法出售的情形：
- 若抵押权人未经抵押人同意，也未通过法律程序，擅自出售抵押车辆，则构成无权处分，其出售行为可能被认定为违法。
- 在此情况下，如果车辆在出售后发生违法行为，且该违法行为与抵押权人的非法出售行为存在因果关系（如车辆因抵押权人的非法出售而流入非法渠道，导致被用于违法活动），则抵押权人可能需承担一定的法律责任。
法律责任分析：
- 抵押权人可能因非法出售车辆而面临民事赔偿，即需向抵押人或买受人赔偿因非法出售行为造成的损失。
- 在极端情况下，如果抵押权人的非法出售行为构成犯罪（如侵占罪、诈骗罪等），则还需承担刑事责任。不过，这种情况较为罕见，通常需要抵押权人具有明确的非法占有目的或实施了严重的欺骗行为。
三、特殊情况下的责任承担
抵押权人未尽到审查义务：
- 如果抵押权人在出售车辆时，未尽到合理的审查义务（如未核实买受人的身份、未了解车辆的用途等），导致车辆被用于违法活动，抵押权人可能因过失而需承担一定的法律责任。
违法行为与抵押权人无关的情形：
- 如果车辆在出售后的违法行为与抵押权人的出售行为无直接关联（如车辆因买受人的个人行为导致违法），则抵押权人通常无需承担责任。
四、建议与总结
对抵押权人的建议：
- 抵押权人在出售抵押车辆前，应确保已取得合法的处置权，并遵守相关法律法规的规定。
- 在出售过程中，应尽到合理的审查义务，确保车辆被合法、合规地使用。
对买受人的建议：
- 买受人在购买抵押车辆时，应仔细核实车辆的所有权、抵押情况以及抵押权人的处置权等信息。
- 如发现抵押权人的出售行为存在违法或违规情形，应及时向相关部门举报并寻求法律帮助。
总结：抵押权人出售车辆后，该车辆的违法行为原则上与抵押权人无关。但抵押权人需确保出售行为的合法性，并尽到合理的审查义务。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。