结论：停在公共车位被树砸了，赔偿责任的承担需根据具体情况判断，主要包括树木管理人的责任、不可抗力因素以及车主自身是否存在过错等角度。
分析如下：
树木管理人的责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，因林木折断、倾倒或者果实坠落等造成他人损害，林木的所有人或者管理人不能证明自己没有过错的，应当承担侵权责任。
- 在此情况下，如果公共车位旁的树木由特定单位或个人管理（如市政部门、物业公司等），且该管理人未能尽到管理职责，如未及时修剪、加固树木，导致树木倾倒砸坏车辆，那么管理人应承担相应的赔偿责任。
不可抗力因素：
- 如果树木倾倒是由于不可抗力因素（如极端天气、地震等）导致的，且管理人已经尽到了合理的管理职责，那么管理人可能不承担赔偿责任。
- 不可抗力是指不能预见、不能避免且不能克服的客观情况。在此类情况下，车主可能需要通过车辆保险来获得赔偿。
车主自身是否存在过错：
- 如果车主在停车时存在过错，如将车辆停放在禁止停车的区域、未按照指示停车等，导致树木倾倒时砸坏车辆，那么车主可能需要自行承担部分或全部责任。
- 此外，如果车主能够证明树木倾倒是由于第三方的过错导致的（如其他车辆撞击树木），那么车主可以向该第三方追偿。
建议：
- 收集证据：车主在遭遇此类情况时，应首先收集相关证据，如现场照片、视频、报警记录等，以证明树木倾倒的事实以及车辆受损的情况。
- 联系管理人：车主可以联系树木的管理人（如市政部门、物业公司等），要求其进行赔偿。如果管理人拒绝赔偿或双方无法达成一致意见，车主可以考虑通过法律途径解决。
- 咨询保险公司：如果车主购买了车辆保险，可以咨询保险公司是否提供此类情况的赔偿服务，并按照保险公司的要求提供相关证据和资料。
后续行动：
- 如果车主与管理人之间无法就赔偿问题达成一致意见，车主可以向人民法院提起诉讼，要求管理人承担赔偿责任。
- 在诉讼过程中，车主需要提供充分的证据证明管理人存在过错以及车辆受损的事实和程度。法院将根据双方提供的证据和法律规定进行判决。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。