生态损害赔偿生效后，一般由人民法院负责移送执行。以下是对此问题的详细分析：

一、执行移送的基本流程

在生态损害赔偿案件中，当判决或裁定生效后，若赔偿义务人未在规定期限内履行赔偿义务，赔偿权利人（如环保部门或相关组织）可以向人民法院申请强制执行。此时，人民法院作为执行机关，负责将生效的法律文书移送执行部门进行执行。这一流程确保了生态损害赔偿判决的有效实施，维护了生态环境的公共利益。

二、执行移送的法律依据

1. 《中华人民共和国民事诉讼法》：该法规定了执行程序的基本框架，包括执行申请、执行管辖、执行措施等。在生态损害赔偿案件中，人民法院依据该法对生效的法律文书进行执行移送。
2. 相关生态环境保护法律：如《中华人民共和国环境保护法》、《中华人民共和国水污染防治法》等，这些法律对生态损害赔偿的具体规定，为人民法院在执行移送过程中提供了具体的法律指引。

三、执行移送中的注意事项

1. 执行申请的时效性：赔偿权利人应在判决或裁定生效后的法定期限内（通常为两年）向人民法院申请强制执行。逾期申请的，人民法院可能不予受理。
2. 执行文书的完备性：赔偿权利人向人民法院申请强制执行时，应提交生效的法律文书、执行申请书等必要材料。这些材料是人民法院进行执行移送的基础。
3. 执行措施的多样性：人民法院在执行生态损害赔偿案件时，可以采取多种执行措施，如查封、扣押、拍卖财产等，以确保赔偿义务得到履行。

四、特殊情况下的执行移送

在某些特殊情况下，如赔偿义务人下落不明或财产难以查找等，人民法院可能会采取公告送达、委托执行等方式进行执行移送。这些措施旨在克服执行过程中的障碍，确保生态损害赔偿判决得到有效执行。

五、法律建议

对于生态损害赔偿案件的赔偿权利人而言，在判决或裁定生效后，应及时向人民法院申请强制执行，并提交完备的执行文书。同时，赔偿权利人也可以积极配合人民法院的执行工作，提供必要的协助和信息，以促进执行程序的顺利进行。

如有任何关于生态损害赔偿执行移送的具体问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。