结论：在对方不追责的情况下，您可以通过表达真诚的歉意、提供适当的帮助、进行后续沟通以及教育孩子等方式来表达感谢和妥善处理此事。
详细分析：
表达真诚的歉意：
- 尽管对方不追责，但作为家长，您仍应向受伤孩子及其家长表达真诚的歉意。这不仅是基本的礼貌，也是体现您对孩子行为负责的态度。
- 可以通过电话、短信或当面沟通的方式，向对方表达您的歉意和关心，让对方感受到您的诚意。
提供适当的帮助：
- 如果对方在孩子受伤后仍有需要帮助的地方，如陪同就医、提供交通等，您可以主动提出并尽力提供帮助。
- 这种帮助不仅是对对方的一种实际支持，也是表达您感谢和歉意的一种方式。
后续沟通与关注：
- 在事故发生后的一段时间内，您可以保持与对方的沟通，了解受伤孩子的恢复情况，表达您的持续关心。
- 如果对方有任何需要或困难，您可以继续提供必要的帮助和支持，以进一步巩固双方的良好关系。
教育孩子：
- 借此机会对孩子进行安全教育和品德教育，让其认识到自己行为的后果，学会遵守规则，与同学友好相处。
- 通过教育孩子，您可以减少类似事故的发生，同时也是对对方家长的一种间接感谢，因为他们可能更希望看到的是孩子们能够和谐共处。
考虑其他形式的感谢：
- 如果对方家庭有特殊需求或喜好，您可以考虑以其他形式表达感谢，如赠送小礼物、邀请共进晚餐等（需确保符合双方的文化习惯和社交礼仪）。
- 这些形式虽然不是必须的，但可以作为一种额外的善意表达，增进双方之间的友好关系。
法律背景与建议：
- 在此情况下，虽然对方不追责，但您仍应关注事故的法律后果和潜在风险。如果未来对方改变主意或出现其他纠纷，您可能需要提供相关证据来证明您已经采取了合理的措施来处理此事。
- 因此，建议您保留与对方的沟通记录、提供的帮助证明等文件，以备不时之需。
- 同时，您也可以借此机会了解学校关于此类事故的处理流程和规定，以便在未来遇到类似情况时能够更迅速、有效地应对。
可能后果：
- 如果您能够妥善处理此事，表达真诚的歉意和提供必要的帮助，那么双方之间的关系很可能会得到维护甚至加强。
- 相反，如果您对此事处理不当或忽视对方的感受，可能会导致双方关系紧张甚至产生纠纷。
总之，在对方不追责的情况下，您应通过多种方式表达感谢和妥善处理此事，以维护双方之间的友好关系并减少潜在的法律风险。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。