结论：能否让司机赔偿，取决于司机是否存在过错以及过错程度，同时还要考虑您与司机之间的法律关系。以下从不同角度为您详细分析：
一、司机存在过错的情况
- 一般过错
- 如果司机开车紧张撞树是因为自身疏忽大意，比如没有合理控制车速、没有注意观察路况等，导致发生单方事故，那么司机存在过错。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。在这种情况下，司机需要对车辆的损失以及可能造成的其他损失（如树木的赔偿等）承担赔偿责任。
- 例如，司机在一条宽阔且视线良好的道路上行驶，由于过度紧张没有及时踩刹车，撞上了路边的树，导致车辆受损严重。此时司机明显存在过错，应当对车辆的维修费用等损失进行赔偿。
- 重大过失
- 若司机的紧张情绪已经严重影响到其正常驾驶能力，且其应当预见这种状态可能引发事故却未采取合理措施避免，可认定为重大过失。比如司机明知自己处于极度紧张、无法正常操控车辆的状态，仍坚持驾驶，最终撞树。这种情况下，司机不仅要承担赔偿责任，而且在一些特殊情况下，赔偿责任的承担可能会更加严格。
- 举例来说，司机在驾驶前已经明显表现出极度紧张、手抖等影响驾驶的症状，旁人提醒其不宜驾驶，但司机仍强行开车上路，结果发生撞树事故，这就属于重大过失。
二、司机不存在过错的情况
如果司机开车紧张撞树是由于不可抗力或者意外事件导致的，司机可能不需要承担赔偿责任。
- 不可抗力：根据《中华人民共和国民法典》第一百八十条规定，因不可抗力不能履行民事义务的，不承担民事责任。法律另有规定的，依照其规定。不可抗力是不能预见、不能避免且不能克服的客观情况。例如，在行驶过程中突然遭遇强烈地震，地面剧烈晃动导致司机紧张失控撞树，这种情况下司机无需承担赔偿责任。
- 意外事件：意外事件是指行为在客观上虽然造成了损害结果，但不是出于行为人的故意或者过失，而是由于不能预见的原因引起的。比如，司机在正常行驶时，突然有一只野生动物从路边窜出，司机因紧张躲避而撞树，且这种情况是司机无法提前预见的，那么司机可能不需要承担赔偿责任。不过，对于意外事件的认定需要严格依据具体情况和相关证据。
三、考虑您与司机的法律关系
- 雇佣关系
- 如果司机是您雇佣的，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条规定，个人之间形成劳务关系，提供劳务一方因劳务造成他人损害的，由接受劳务一方承担侵权责任。接受劳务一方承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的提供劳务一方追偿。提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。
- 也就是说，如果司机是在为您提供劳务过程中发生撞树事故，一般情况下先由您承担赔偿责任，但如果司机存在故意或者重大过失，您可以向司机追偿。例如，您雇佣司机为您开车送货，途中司机因紧张撞树，货物和车辆受损，首先由您承担货物和车辆的损失赔偿责任，之后如果司机存在重大过失，您可以要求司机赔偿您的损失。
- 好意施惠关系
- 如果司机是出于好意无偿为您开车，比如朋友之间顺路搭载您，司机开车紧张撞树。在这种情况下，一般也会根据双方的过错程度来确定责任。如果司机存在过错，应当承担相应的赔偿责任，但可能会适当减轻其责任。因为好意施惠关系中，施惠方通常是出于善意提供帮助，不应让其承担过重的责任。
- 比如，您搭乘朋友的车出行，朋友因紧张撞树，导致您受伤和车辆受损。如果朋友存在一般过错，可能会根据具体情况适当减轻其对您受伤和车辆损失的赔偿责任。
建议：您可以先收集相关证据，如事故现场的照片、视频、证人证言等，以确定司机是否存在过错以及过错程度。然后根据您与司机之间的法律关系，与司机协商赔偿事宜。如果协商不成，您可以考虑通过法律途径解决，比如向法院提起诉讼。如果您还有其他疑问或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询。