结论：老公跟着老板出门打工自杀后，老板是否有责任需根据具体情况判断，主要看老板是否存在过错以及该过错与自杀行为之间是否存在因果关系。以下从不同角度进行分析：
一、老板无过错的情况
如果老板在安排工作、提供工作环境等方面均尽到了合理的注意义务，不存在任何过错行为，且自杀行为完全是由于老公个人原因（如个人心理问题、家庭矛盾等）导致，与老板的工作安排或工作环境等无任何关联，那么老板通常不需要承担责任。
举例：老公因长期患有抑郁症，在跟随老板打工期间，因个人情绪问题选择自杀，而老板在工作过程中对老公并无任何不当行为或疏忽，此时老板无需承担责任。
二、老板存在过错的情况
如果老板在工作安排、工作环境提供、员工关怀等方面存在过错，且该过错与老公的自杀行为之间存在一定的因果关系，那么老板可能需要承担相应的责任。这种责任可能是民事赔偿责任，甚至在某些情况下可能涉及刑事责任（但刑事责任通常较为严格，需满足特定条件）。
具体过错情形及责任分析：
工作安排不当：
- 如果老板安排的工作任务过重、工作时间过长，导致老公长期处于高压状态，进而引发自杀行为，老板可能需要承担一定的民事赔偿责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动法》等相关法律法规，用人单位有义务保障劳动者的身心健康，合理安排工作任务和工作时间。
工作环境恶劣：
- 如果老板提供的工作环境存在安全隐患或恶劣条件，对老公的身心健康造成严重影响，进而导致自杀行为，老板同样可能需要承担民事赔偿责任。
- 法律依据：用人单位有义务提供安全、健康的工作环境，保障劳动者的生命安全和身体健康。
缺乏员工关怀：
- 如果老板对员工的心理状态和生活状况缺乏必要的关怀和了解，在老公出现心理问题时未能及时给予帮助和支持，导致自杀行为发生，老板也可能需要承担一定的责任。
- 法律背景：虽然法律没有明确规定用人单位必须提供心理关怀，但从人道主义和道德层面出发，用人单位对员工应有一定的关怀义务。
特殊情形下的刑事责任：
- 在极少数情况下，如果老板的行为构成犯罪（如虐待、遗弃等），且该犯罪行为与老公的自杀行为之间存在直接的因果关系，老板可能需要承担刑事责任。但这种情况通常较为严格，需满足特定的犯罪构成要件。
三、建议与行动
- 收集证据：如果认为老板存在过错行为，应尽快收集相关证据，如工作记录、工作环境照片、证人证言等，以证明老板的过错行为与自杀行为之间的因果关系。
- 咨询专业律师：由于劳动工伤和侵权损害领域的法律问题较为复杂，建议尽快咨询专业律师，以便更准确地评估责任和制定应对策略。
- 协商与诉讼：在律师的指导下，可以尝试与老板进行协商，寻求合理的赔偿方案。如果协商无果，可以考虑通过法律途径解决纠纷，如提起民事诉讼等。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，因此无法一概而论老板是否需要承担责任。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。