结论：有限公司本身不能直接“投资”一家分公司，因为分公司是总公司的分支机构，其设立是总公司业务扩展和组织架构调整的一部分，而非通过投资行为形成。不过，有限公司可以通过设立分公司的方式，在特定地区或业务领域拓展其经营，以下是对此问题的详细分析：

一、分公司的法律地位与设立

1. 法律地位：分公司是总公司在其住所以外设立的分支机构，不具有独立的法人资格。这意味着分公司没有独立的财产权和完整的决策自主权，其民事责任由总公司承担。

2. 设立依据：根据《中华人民共和国公司法》第十四条的规定，公司可以设立分公司。设立分公司时，必须向公司登记机关申请登记，并领取营业执照。

二、有限公司与分公司的关系

1. 组织架构：有限公司（总公司）与分公司之间是母子关系，分公司是总公司的组成部分，受总公司的直接管理和控制。

2. 业务扩展：有限公司设立分公司的目的通常是为了拓展业务、扩大市场份额或更好地服务客户。分公司可以在总公司的授权范围内开展经营活动，但其行为后果最终由总公司承担。

三、关于“投资”分公司的误解澄清

1. 投资行为：投资通常指的是将资金或其他资源投入某个企业或项目，以获取经济回报的行为。然而，在有限公司设立分公司的情况下，并不涉及对外部企业或项目的投资，而是总公司内部组织架构的调整和业务扩展。

2. 资金来源：分公司设立所需的资金通常来自总公司的自有资金或通过其他融资方式获得，而非通过对外投资获得。这些资金用于分公司的设立、运营和发展。

四、有限公司设立分公司的流程与注意事项

1. 设立流程：

   • 申请名称预先核准；
   • 提交设立申请材料，包括公司法定代表人签署的设立分公司的登记申请书、公司章程以及加盖公司印章的《企业法人营业执照》复印件等；
   • 登记机关审核；
   • 领取营业执照。

2. 注意事项：

   • 确保分公司的名称符合国家有关规定，并冠以总公司名称全称；
   • 提供合法的营业场所使用证明；
   • 分公司的经营范围不得超出总公司的经营范围；
   • 任命合适的分公司负责人，并明确其职责和权限；
   • 遵守相关法律法规和公司章程的规定，确保分公司的合法设立和合规运营。

五、特殊情况下的处理

虽然有限公司不能直接“投资”一家分公司，但在某些特殊情况下，如总公司因故无法直接行使管理权利时，可能会通过特别决议或授权委托书等方式，明确授权分公司代为行使相关管理权利。然而，这并不改变分公司作为总公司分支机构的法律地位和责任承担方式。

建议：如果您作为有限公司的负责人或股东，考虑在特定地区或业务领域设立分公司以拓展业务，建议详细规划分公司的设立方案、明确分公司的经营范围和职责权限，并确保遵守相关法律法规和公司章程的规定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。