公司未签合同且违法辞退员工的，员工可主张双倍工资差额及违法解除赔偿金；若公司合法辞退，则需支付未签合同的双倍工资差额及经济补偿金。具体分析如下：

一、未签订书面劳动合同的法律责任

根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

• 计算方式：从用工满1个月的次日起，至补签合同或劳动关系终止之日止，最多不超过11个月。
  
• 举证责任：劳动者需证明劳动关系存在（如工资记录、考勤记录、工作证等），用人单位若主张已签合同，需承担举证责任。

二、辞退行为的合法性审查

辞退是否合法需结合具体情形判断，常见情形及法律后果如下：

1. 违法辞退（如无合法理由或程序违法）

根据《劳动合同法》第四十八条、第八十七条，用人单位违法解除劳动合同的，应当按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。

• 经济补偿标准：每工作满1年支付1个月工资；6个月以上不满1年的按1年计算；不满6个月的支付半个月工资。
  
• 赔偿金计算：经济补偿×2。例如，工作2年被违法辞退，赔偿金为4个月工资。
  
• 叠加责任：若同时存在未签合同情形，劳动者可主张双倍工资差额+赔偿金。

2. 合法辞退（如员工严重违纪、不能胜任工作等）

若用人单位能证明辞退符合《劳动合同法》第三十九条（过错性解除）或第四十条（无过错性解除）规定，则无需支付赔偿金，但仍需支付未签合同的双倍工资差额及经济补偿金（无过错性解除时）。

• 经济补偿金：按上述标准支付。
  
• 程序要求：无过错性解除需提前30日书面通知或额外支付1个月工资（代通知金）。

三、实务建议

1. 劳动者：

   • 收集劳动关系证明（如工资流水、工作记录、同事证言等）；
     
   • 向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，主张双倍工资差额及赔偿金/经济补偿金；
     
   • 注意仲裁时效：自知道权益受损之日起1年内提出。
     

2. 用人单位：

   • 立即补签书面劳动合同，避免双倍工资风险；
     
   • 辞退员工时确保程序合法（如通知工会、留存证据等）；
     
   • 协商解除时明确补偿方案，避免争议。

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体细节。