结论前置：当公司没有与员工签订劳动合同却辞退员工时，员工可以通过证明劳动关系、收集证据、与公司协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等途径来维护自身权益，并有权要求公司支付双倍工资差额及违法解除劳动合同的赔偿金。

详细分析与步骤：

1. 证明劳动关系：

   • 尽管没有书面劳动合同，但员工可以通过其他方式证明与公司存在劳动关系。这包括工资支付凭证（如银行转账记录）、工作证、服务证、考勤记录、同事证言等。这些证据能够形成完整的证据链，证明员工与公司之间存在事实劳动关系。

2. 了解法律权益：

   • 双倍工资差额：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果员工在公司工作了一段时间（超过一个月但不满一年）而未签订劳动合同，员工有权要求公司支付这段时间的双倍工资差额。
   • 违法解除赔偿金：若公司无合法理由单方辞退员工，构成违法解除。依据《劳动合同法》第八十七条，公司应按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿的计算方式为：工作年限×月工资×2倍（满半年按1年计，不足半年按0.5年计）。

3. 收集证据材料：

   • 为了证明劳动关系及被辞退的事实，员工需要收集以下关键证据：工资流水、工作证/考勤记录/工服照片、与上级的聊天记录（涉及工作安排）、同事证言（如有）等。这些证据在后续的协商、仲裁或诉讼过程中将起到至关重要的作用。

4. 与公司协商解决：

   • 在收集到足够证据后，员工可以主动与公司进行沟通，明确诉求，包括要求公司支付双倍工资差额和违法解除劳动合同的赔偿金等。在协商过程中，员工应保留好聊天记录、通话录音等证据，以备不时之需。

5. 申请劳动仲裁：

   • 如果协商无果，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请书及相关证据材料。仲裁程序包括等待受理、开庭审理、双方举证质证和辩论等环节，最终由仲裁委员会作出裁决。员工应在知道权利被侵害之日起一年内提出仲裁申请，以免错过时效。

6. 提起诉讼：

   • 如果对仲裁裁决不服，员工可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。诉讼过程将按照法院要求进行举证、质证等程序，等待法院判决。在诉讼过程中，员工应积极配合法院工作，提供必要的证据和材料。

行动建议：

• 立即整理在职期间所有能证明劳动关系的材料，如工资流水、工作证、考勤记录等。
• 优先尝试与公司协商解决，明确诉求并保留好相关证据。
• 若沟通破裂，在离职后一年内向当地仲裁委提交申请，同时可向劳动监察大队投诉社保问题形成双重施压。
• 在整个维权过程中，保持冷静和理性，遵循法律程序，确保自身权益得到最大程度的保护。

示例计算：

• 假设员工在公司工作了9个月未签订劳动合同，且月工资为5000元。那么，员工有权要求公司支付8个月的双倍工资差额（因为第一个月不计算双倍工资），即5000元×8个月=40000元。
• 如果公司违法解除劳动合同，且员工在公司工作了9个月（满半年按1年计），那么员工有权要求公司支付经济补偿标准的二倍作为赔偿金，即5000元×1年×2倍=10000元。

希望以上分析能够对你有所帮助。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。