针对员工严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害的情况，公司可以采取以下措施：

结论前置： 公司可以依据《劳动合同法》第三十九条的规定，与员工解除劳动合同，且无需支付经济补偿金。同时，公司也有权要求员工赔偿因其行为给公司造成的经济损失。

详细分析：

1. 解除劳动合同：

   • 法律依据：根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，用人单位可以解除劳动合同。
   • 实施步骤：公司应确保有完善的规章制度，并明确严重失职、营私舞弊及造成重大损害的具体标准。一旦发现员工存在此类行为，公司应收集充分证据，并按照内部程序进行处理，最终与员工解除劳动合同。

2. 要求赔偿损失：

   • 法律依据：员工因严重失职、营私舞弊给公司造成损失的，公司有权要求员工赔偿。
   • 实施方式：公司应合理确定损失赔偿数额，并有证据证明实际损失金额。若双方就赔偿问题无法协商一致，公司可以通过劳动仲裁或诉讼途径解决。

3. 内部管理与预防：

   • 建立健全规章制度：公司应制定明确的规章制度，规定员工的行为规范和职责，以及违反规定的处罚措施。
   • 加强监督与管理：公司应加强对员工的监督和管理，定期进行检查和评估，及时发现和纠正问题。
   • 培训与教育：公司应定期对员工进行职业道德和法律意识培训，提高员工的职业素养和法律意识。

综上所述，对于员工严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害的情况，公司不仅可以依据法律规定与员工解除劳动合同，还有权要求员工赔偿损失。同时，公司也应加强内部管理与预防，避免类似情况的再次发生。如果您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。