企业可以解除与失信人员的劳动关系，但必须基于合法、合理的理由，并遵循法定程序。以下是对这一问题的详细分析：
一、失信人员身份本身不构成解除劳动关系的直接理由
失信人员，通常指的是被纳入失信被执行人名单的人员，他们因未履行生效法律文书确定的义务而被法院采取限制措施。然而，失信人员的身份本身并不直接构成企业解除劳动关系的合法理由。企业不能仅凭员工是失信人员就单方面解除劳动合同，否则可能构成违法解除，需要承担相应的法律责任。
二、企业解除劳动关系的合法理由
企业要解除与失信人员的劳动关系，必须基于合法、合理的理由，这些理由通常包括：
员工严重违反公司规章制度：如果失信人员的行为同时违反了公司的规章制度，且该规章制度是合法、合理且经过民主程序制定的，企业可以依据规章制度解除劳动关系。
员工不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任：如果失信人员因个人能力或态度问题无法胜任工作，且经过培训或调整工作岗位后仍无法改善，企业可以解除劳动关系。但这一理由与失信人员身份无直接关联，而是基于员工的工作表现。
劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行：如企业因经营不善需要裁员，或因政策调整导致岗位撤销等，这些客观情况的变化可能构成解除劳动关系的合法理由。但同样，这一理由与失信人员身份无直接联系。
员工被依法追究刑事责任：如果失信人员因犯罪行为被依法追究刑事责任，企业可以依据《劳动合同法》的相关规定解除劳动关系。但需要注意的是，并非所有失信行为都构成犯罪，只有被依法追究刑事责任的失信行为才能作为解除劳动关系的理由。
三、企业解除劳动关系的程序要求
无论基于何种理由解除劳动关系，企业都必须遵循法定程序，包括：
提前通知：企业应提前三十日以书面形式通知员工本人，或者额外支付员工一个月工资后解除劳动合同（在符合特定条件下，如员工严重违反规章制度等，可以立即解除）。
说明理由：企业应向员工说明解除劳动关系的具体理由，并确保理由合法、合理。
办理手续：企业应为员工办理离职手续，包括结算工资、转移社保等。
四、法律建议
审慎处理：企业在处理与失信人员的劳动关系时，应审慎评估解除劳动关系的合法性和合理性，避免因违法解除而承担法律责任。
完善制度：企业应完善内部规章制度，明确解除劳动关系的条件和程序，确保在处理类似情况时有章可循。
咨询专业律师：如果企业对解除劳动关系的合法性和程序存在疑问，应及时咨询专业律师，以确保处理方式的合法性和有效性。
总结来说，企业可以解除与失信人员的劳动关系，但必须基于合法、合理的理由，并遵循法定程序。在处理此类情况时，企业应审慎评估、完善制度，并在必要时咨询专业律师。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。