结论前置：未签劳动合同被开除，劳动者在符合法定条件下有权要求用人单位支付双倍工资及违法解除劳动关系的赔偿金。以下是对这一结论的详细解释：

一、未签订劳动合同的双倍工资赔偿

法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

计算要点：

• 计算期间：从用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同的前一日，或者至劳动关系终止的前一日（如果未补订）。例如，若劳动者于2023年1月1日入职，公司一直未签订合同，直到2023年12月1日被开除，则双倍工资的计算期间为2023年2月1日至2023年12月1日（若未补订合同）。
• 基数确定：按劳动者应得工资计算，包括计时工资、计件工资以及奖金、津贴和补贴等货币性收入。

示例：若劳动者月工资为5000元，工作11个月未签合同，则公司应支付的双倍工资差额为5000元×11个月=55000元（扣除已支付的正常工资后，实际需额外支付55000元作为赔偿）。

二、违法解除劳动关系的赔偿金

法律依据：若公司开除劳动者的行为构成违法解除劳动合同，依据《劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，劳动者有权要求继续履行劳动合同，或选择不继续履行并要求用人单位按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。

计算标准：

• 经济补偿标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
• 赔偿金计算：赔偿金为经济补偿标准的二倍。

示例：若劳动者在公司工作了1年，月工资为5000元，公司违法将其开除，则应支付劳动者赔偿金为5000元×1年×2=10000元。若工作年限为2年，则赔偿金为5000元×2年×2=20000元，以此类推。

三、合法解除劳动合同的经济补偿（如适用）

若用人单位开除劳动者符合《中华人民共和国劳动合同法》规定的合法情形（如劳动者不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位仍不能胜任等），则需向劳动者支付经济补偿金，而非赔偿金。经济补偿金的计算标准与上述经济补偿标准相同。

四、维权途径与建议

1. 收集证据：劳动者应积极收集相关证据来证明与用人单位之间的劳动关系，包括但不限于工资支付记录（如工资条、银行工资流水）、工作证、考勤记录、同事的证人证言、工作沟通的聊天记录以及电子邮件等。
2. 协商与投诉：在收集了充分证据后，劳动者可以先尝试与公司进行协商，协商不成时可以向当地的劳动监察部门投诉。
3. 申请劳动仲裁：若投诉无果，劳动者可以依法向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

特别提醒：在实际操作中，劳动者应重视证据的收集，并了解正确的维权途径。如果遇到复杂情况或不确定如何操作时，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议和支持。