可以报警，且在有监控的情况下，报警后警方立案侦查并追回损失的可能性较大。以下从不同角度为你详细分析：

法律角度

• 盗窃行为的违法性：根据《中华人民共和国刑法》第二百六十四条的规定，盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，构成盗窃罪。别人偷了你家的钱，这一行为明显违反了法律规定，属于盗窃行为，警方有义务依法进行查处。
• 监控作为证据的重要性：监控录像属于视听资料，是法律规定的证据种类之一。在盗窃案件中，监控录像可以清晰地记录下盗窃行为发生的时间、地点、盗窃者的外貌特征以及盗窃过程等关键信息，为警方破案提供有力的线索和证据。有了监控录像的支持，警方能够更准确地锁定犯罪嫌疑人，提高破案效率。

实际操作角度

• 报警流程：当你发现家中钱财被盗后，应立即拨打110报警电话或者前往就近的公安机关报案。在报案时，要向警方详细描述盗窃发生的时间、地点、被盗财物的种类和数量等情况，并将监控录像提供给警方。警方在接到报案后，会及时出警进行现场勘查，并展开调查工作。
• 警方的调查与处理：警方会根据你提供的监控录像以及其他相关线索，展开调查工作。如果能够通过监控录像锁定犯罪嫌疑人，警方会依法对其进行传唤、讯问，并收集其他证据来证明其犯罪事实。一旦证据确凿，警方会将案件移送检察机关审查起诉，最终由法院对犯罪嫌疑人进行审判。

后续建议

• 保护好现场和证据：在报警之前，要尽量保护好盗窃现场，不要随意翻动或清理，以免破坏现场痕迹和证据。同时，要妥善保管好监控录像等相关证据，避免丢失或损坏。
• 配合警方调查：在警方调查过程中，要积极配合警方的工作，如实提供所知道的情况和线索。如果警方需要你协助辨认犯罪嫌疑人或者提供其他帮助，要尽力配合。
• 关注案件进展：在案件处理过程中，你可以向警方了解案件的进展情况。如果案件进入诉讼阶段，你还可以作为被害人参与诉讼，维护自己的合法权益。

如果有任何其他疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律意见。