结论：在公司名称变更但合同内容未变的情况下，与对方公司继续履行合同或进行相关交易时，通常需要提供一系列资料以证明公司名称变更的事实及变更后的合法身份。这些资料主要包括公司名称变更的证明文件、变更后的营业执照副本以及可能需要的授权委托书等。
详细解答：
公司名称变更的证明文件：
- 这是最直接且必要的文件，用于证明公司名称已经发生变更。通常，这份文件是由公司登记机关（如工商行政管理局）出具的，可能包括《公司变更登记申请书》、《公司变更登记审核表》以及《准予变更登记通知书》等。这些文件共同构成了公司名称变更的官方证明。
变更后的营业执照副本：
- 营业执照是公司合法经营的凭证，公司名称变更后，需要重新领取变更后的营业执照。在与对方公司进行交易或履行合同时，提供变更后的营业执照副本可以证明公司当前的合法身份和经营状态。
授权委托书（如适用）：
- 如果公司名称变更后，需要由特定人员代表公司进行交易或签署文件，那么可能需要提供授权委托书。这份文件应明确授权范围、授权期限以及被授权人的身份信息，以确保交易或签署行为的合法性和有效性。
其他可能需要的文件：
- 根据具体情况和对方公司的要求，可能还需要提供其他相关文件，如公司章程修正案、股东会或董事会决议等，以证明公司名称变更已经得到内部决策机构的批准和认可。
法律建议：
- 在提供这些资料时，建议确保所有文件的真实性和合法性，避免提供虚假或伪造的文件。
- 如果对方公司对提供的资料有疑问或要求提供更多信息，应积极配合并及时提供所需资料，以维护良好的合作关系和避免潜在的法律风险。
- 在公司名称变更后，应及时通知所有相关方，包括客户、供应商、合作伙伴等，并更新所有相关合同和文件中的公司名称信息，以确保交易的顺利进行和法律合规性。
后续行动建议：
- 如果您在准备这些资料或处理公司名称变更相关事宜时遇到任何问题或困惑，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
- 同时，建议您在处理完公司名称变更后，对公司的所有合同和文件进行一次全面审查，确保所有文件中的公司名称信息都是最新且准确的，以避免因信息不一致而引发的法律纠纷。