当出租车司机遇到醉酒客人并发现其睡在车上时，可以按照以下步骤来处理，以确保安全、履行法律义务并减少潜在纠纷：
一、首要关注安全
评估乘客状态：
- 仔细观察乘客的醉酒程度，判断其是否具备自理能力和清晰的表达能力。
- 如果乘客仅轻微醉酒，能保持相对稳定，司机可以继续提供服务，但需保持高度警惕，随时准备应对可能出现的突发情况。
- 如果乘客醉酒严重，出现无法自控的行为，如呕吐、胡言乱语、无法坐稳等，司机应考虑拒绝继续服务，以确保行车和乘客自身的安全。
保障行车安全：
- 根据交通法规，驾驶员有义务确保行车安全。如果醉酒乘客干扰驾驶，如拉扯方向盘、试图打开车门等，司机应立即安全停车。
- 在停车后，采取必要措施防止事故发生，如锁闭车门、开启双闪灯等，并在必要时报警或寻求周围群众的帮助。
关注自身安全：
- 司机的安全同样重要。如果面对危险或不可预测的乘客行为，如暴力倾向、威胁等，司机应立即停止服务，并采取防护措施，如锁闭车门、报警等。
二、履行告知与协助义务
告知乘车规则：
- 即使乘客醉酒，司机也应在上车时或发现其醉酒后，提醒其遵守乘车规定，如系安全带、不吸烟、不损坏车内设施等。
明确目的地信息：
- 如果醉酒乘客无法清晰表达目的地，司机应通过合理方式尝试确定，如查看乘客手机中的常用地址、联系乘客的紧急联系人等。
- 在确定目的地后，告知乘客预计到达时间、费用等信息，以便乘客或其家属了解行程情况。
协助乘客安全离开：
- 如果司机决定不提供服务或到达目的地后乘客仍未醒来，司机应礼貌地告知乘客并协助其找到其他安全的交通方式，如联系家人朋友来接走、叫其他出租车或使用网约车服务等。
- 在确保安全的前提下，司机可以提供适当的帮助，如搀扶乘客下车、将其安置在安全的地方等。
三、处理财物与记录情况
妥善保管乘客财物：
- 如果醉酒乘客遗落财物在车上，司机应根据相关法律规定，及时通知权利人领取或送交公安部门。
- 在保管财物期间，司机应确保财物的安全，避免损坏或丢失。
避免财物纠纷：
- 在支付车费时，司机应与乘客或其同行人员确认费用，并保留支付凭证，如发票、收据或电子支付记录等，以防止纠纷。
详细记录情况：
- 无论是否提供服务或发生纠纷，司机都应在事后详细记录事件的时间、地点、乘客状态及处理过程。
- 记录可以包括乘客的醉酒程度、行为表现、是否干扰驾驶、是否遗落财物等信息，以备不时之需。
四、应对异常情况
及时报警求助：
- 如果面对醉酒乘客的严重暴力行为、威胁生命安全或涉嫌违法犯罪时，司机应立即报警并寻求法律帮助。
- 在报警时，提供详细的事件描述和乘客信息，以便警方迅速响应和处理。
联系家属或监护人：
- 在可能的情况下，司机应通过乘客的手机等联系方式联系其家属或监护人，告知乘客情况和所在位置。
- 如果乘客无法提供联系方式或联系不上家属，司机可以考虑将乘客送至附近的派出所或救助站等安全场所。
综上所述，出租车司机在遇到醉酒客人并发现其睡在车上时，应综合考虑安全、法律义务及实际情况来灵活应对。通过谨慎评估和妥善处理，可以有效减少潜在的纠纷和风险，确保双方的安全及合法权益。