结论：履行到期债务通知书下达给第三方后，并不必然同步冻结第三方对债务人的租金债务不得擅自支付，是否冻结需视具体情况及法院采取的措施而定。

分析说明：

1. 履行到期债务通知书的性质与效力：

   • 履行到期债务通知书是法院在执行程序中，向第三人（即与被执行人有债权债务关系的单位或个人）发出的，要求其直接向申请执行人履行其对被执行人所负的到期债务的法律文书。
   • 该通知书的发出，旨在通过执行第三人的财产来满足申请执行人的债权，但它本身并不直接产生冻结或查封第三人财产的法律效果。

2. 冻结租金债务的法律程序：

   • 若法院希望冻结第三方对债务人的租金债务，通常需要采取进一步的执行措施，如发出协助执行通知书或裁定书，明确要求第三方不得擅自支付租金给债务人，并将租金直接支付至法院指定账户或申请执行人。
   • 冻结租金债务属于对第三人财产的强制执行措施，必须遵循严格的法律程序，包括但不限于通知第三方、听取其意见、作出裁定等。

3. 第三方在接到通知书后的义务：

   • 第三方在接到履行到期债务通知书后，有义务在合理期限内核实其与被执行人之间的债权债务关系，并向法院反馈。
   • 若第三方对通知书内容有异议，如认为其与被执行人之间的债务尚未到期、金额不符或存在其他争议，应及时向法院提出，并等待法院的进一步处理。
   • 在法院未作出进一步裁定或通知前，第三方通常不应擅自支付租金给债务人，但也不意味着租金债务被自动冻结。

4. 实际操作中的注意事项：

   • 法院在执行过程中，会根据案件的具体情况和需要，决定是否采取冻结租金债务等强制执行措施。
   • 第三方在接到相关法律文书后，应仔细阅读并理解其内容，必要时可咨询专业律师以维护自身合法权益。
   • 若第三方擅自支付租金给债务人，可能面临被法院责令追回、承担赔偿责任等法律后果。

法律建议：

• 若您作为第三方接到了履行到期债务通知书，建议首先核实其真实性及内容，并尽快与法院或申请执行人沟通，了解具体情况。
• 若您对通知书内容有异议或不确定如何处理，建议及时咨询专业律师，以便得到准确的法律指导和帮助。
• 在处理此类事务时，务必保持谨慎和合规，避免因不当处理而引发不必要的法律纠纷或损失。

后续行动指导：

• 若您需要进一步了解冻结租金债务的具体法律程序或要求，可直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律解释和建议。
• 若您在处理此类事务过程中遇到任何法律问题或困难，也可随时向我寻求帮助，我将尽力为您提供专业的法律支持和服务。