您好，关于客人落下东西酒店是否有义务免费寄回的问题，这主要涉及到酒店对旅客遗留物品的保管和归还责任。

首先，根据《旅馆业治安管理办法》的相关规定，酒店对旅客遗留的物品有妥善保管的义务，并应设法归还原主或揭示招领。这意味着，如果客人在酒店遗落了物品，酒店不能随意处置，尤其是不能直接丢弃。酒店应当采取积极措施，如联系客人、保管物品等，以履行其法定义务。

然而，对于是否免费寄回遗落物品，这并非酒店的法定义务。酒店可以选择寄回，但相关费用（如邮费）通常需要由客人承担，除非酒店出于特殊考虑（如提升客户满意度）而决定免费寄回。当然，如果客人在遗落物品时与酒店有特别约定（如酒店承诺免费寄回遗落物品），那么酒店应当按照约定履行。

另外，如果酒店未能妥善保管旅客遗留物品，导致物品丢失或损坏，酒店可能需要承担相应的赔偿责任。这种赔偿责任是基于酒店未尽到安全保障义务而产生的，与是否免费寄回物品无直接关联。

最后，我想提醒您，作为客人，在入住酒店时应当妥善保管自身财物，离店前注意检查是否有遗漏。如果发现物品遗忘，应及时联系酒店并保留相关证据。同时，也请理解酒店作为服务提供者的责任和义务是有限的，不能要求酒店对顾客遗失的任何财物都进行无条件地赔偿或免费寄回。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。