当执行阶段和解协议不履行时，另一方当事人可以采取以下法律措施来维护自身权益：
申请恢复原生效法律文书的执行：
- 法律依据：根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，若一方当事人在执行和解后不履行和解协议，对方当事人有权向法院申请恢复对原生效法律文书的执行。
- 申请条件：需证明对方未履行和解协议，且该不履行行为无合理争议。
- 申请程序：向原执行法院提交书面申请，详细说明和解协议不履行的具体情况，并提供相关证据。法院经审查核实后，将裁定恢复对原生效法律文书的执行，并继续采取相应的执行措施。
另行起诉要求对方承担违约责任：
- 和解协议性质：执行和解协议具有合同性质，是双方自愿达成的约定。若协议中明确约定了违约责任条款，一方不履行时，另一方有权依据协议和法律规定，要求违约方承担违约责任。
- 起诉程序：向有管辖权的人民法院提起民事诉讼，提交起诉状、和解协议及相关证据材料，明确诉讼请求和事实理由。法院将按照民事诉讼程序进行审理和判决。
- 注意事项：确保和解协议的有效性、违约责任条款的明确性和可操作性，并提供充分证据证明对方的违约行为及其造成的损失。
申请法院对被执行人采取强制执行措施：
- 执行措施种类：法院可根据具体情况，对被执行人采取多种强制执行措施，如查询、冻结、划拨存款；扣留、提取收入；查封、扣押、拍卖、变卖财产；搜查隐匿财产；强制交付指定财物或单据等。
- 信用惩戒：被执行人若拒不履行和解协议，还可能被法院列入失信被执行人名单，面临严重的信用惩戒，包括限制高消费、影响个人征信等。
在采取上述法律措施时，有几点建议供您参考：
- 收集证据：务必收集足够的证据来证明对方的不履行行为，包括但不限于和解协议原件、对方书面确认、相关证人证言等。这些证据将在后续的法律程序中起到关键作用。
- 权衡利弊：强制执行程序可能需要时间和费用，并且结果并非完全确定。在采取行动前，请权衡利弊，考虑各种法律途径的利弊和可能的结果。
- 保持冷静：在处理此类法律问题时，保持冷静和理性至关重要。避免采取过激行为或言辞，以免影响案件的处理和自身的合法权益。
示例说明：
假设您与对方在执行阶段达成了和解协议，约定对方在一定期限内支付您一定金额的款项。然而，期限届满后，对方并未履行该协议。此时，您可以向法院申请恢复对原生效法律文书的执行，要求对方支付款项及可能产生的利息和违约金。同时，您也可以考虑另行起诉对方，要求其承担违约责任，如支付额外的赔偿金等。
最后，面对执行阶段和解协议不履行的情况，您应根据具体情况选择合适的法律途径来维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。