结论：老公未经老婆同意私自购买乡下地基的合同是否有效，需根据具体情况判断，主要涉及合同双方的意思表示是否真实、合同内容是否合法以及购买行为是否构成无权处分等问题。以下从不同角度进行分析：

一、合同双方意思表示的真实性

1. 若合同双方意思表示真实：

   • 如果购买地基的合同是老公与卖方在平等、自愿的基础上签订的，且双方意思表示真实，没有欺诈、胁迫等情形，那么该合同在形式上可能是有效的。
   • 但需注意，即使合同形式有效，若涉及家庭共同财产或夫妻共同债务，仍可能因未经老婆同意而引发后续纠纷。

2. 若合同存在意思表示不真实的情况：

   • 如果老公在签订合同时存在欺诈、胁迫等行为，导致卖方在违背真实意愿的情况下签订合同，那么该合同可能因意思表示不真实而被撤销或认定为无效。

二、合同内容的合法性

1. 若合同内容合法：

   • 如果购买的地基符合当地土地管理法规的规定，且合同内容没有违反法律、行政法规的强制性规定，那么该合同在内容上可能是合法的。
   • 但需注意，农村宅基地的买卖可能受到严格限制，需确认该地基是否属于可买卖范围。

2. 若合同内容违法：

   • 如果购买的地基属于违法建筑、禁止买卖的宅基地或存在其他违法情形，那么该合同可能因内容违法而被认定为无效。

三、无权处分问题

1. 若地基属于夫妻共同财产：

   • 如果老公未经老婆同意，擅自处分夫妻共同财产（如地基），且该处分行为未得到老婆的追认，那么该行为可能构成无权处分。
   • 在无权处分的情况下，如果卖方是善意的（即不知道也不应当知道老公无处分权），且支付了合理对价，那么卖方可能依据善意取得制度取得地基的所有权。但老婆仍有权向老公主张损害赔偿。

2. 若地基不属于夫妻共同财产：

   • 如果地基属于老公的个人财产（如婚前财产或通过继承、赠与等方式单独取得的财产），那么老公有权单独处分该地基，无需老婆同意。但需注意，即使地基属于个人财产，若购买行为涉及家庭共同利益或夫妻共同债务，仍可能引发纠纷。

四、法律建议

1. 核实地基性质：首先，需要核实该地基是否属于可买卖范围，以及是否属于夫妻共同财产。
2. 审查合同内容：仔细审查购买地基的合同内容，确保合同双方意思表示真实、合同内容合法。
3. 咨询专业意见：在涉及复杂法律问题时，建议咨询专业律师以获取更准确的法律意见。
4. 考虑家庭和谐：在处理此类纠纷时，还需考虑家庭和谐因素，尽量通过协商、调解等方式解决争议。

后续行动建议：如果您或您的家人面临此类问题，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更详细的法律建议和解决方案。