结论前置：
- 用人单位提前一个月通知不续签劳动合同，一般支付的是经济补偿金，而非赔偿金。经济补偿金的具体数额依据劳动者在本单位的工作年限和月工资水平确定。
- 若用人单位存在违法解除劳动合同等情形，才可能需要支付赔偿金，且赔偿金是经济补偿金的两倍。
详细分析：
一、经济补偿金的支付
根据《劳动合同法》的相关规定，当劳动合同到期，用人单位提出不续签时，应当向劳动者支付经济补偿金。经济补偿金的计算方式如下：
- 计算标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资定义：指的是劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 特殊规定：如果劳动者的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿金的标准应按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
举例说明：
- 张三在某公司工作了3年零8个月，劳动合同到期前一个月公司通知不再续签。根据法律规定，公司应支付给张三4个月工资作为经济补偿。
二、赔偿金的支付
赔偿金与经济补偿金不同，它通常是在用人单位存在违法解除劳动合同等情形时才需要支付。赔偿金的计算方式是经济补偿金的两倍。
举例说明：
- 如果公司无故辞退张三，且张三在公司工作了3年零8个月，那么公司除了需要支付张三4个月工资作为经济补偿外，还需要额外支付4个月工资作为赔偿金，总共是8个月工资。
三、用人单位的法律责任
- 及时处理续签或终止事宜：单位在劳动合同到期前应及时处理续签或终止事宜，并遵守相关法律法规。若合同到期后单位未续签合同也未及时通知员工，或存在其他违法情形（如无故辞退员工、未按规定支付经济补偿等），则可能需要承担相应的法律责任，包括但不限于支付赔偿金。
- 特殊情形下的处理：如果用人单位降低劳动合同约定条件续签劳动合同，而劳动者不同意续签的，用人单位仍需按照上述标准支付经济补偿。
总结与建议：
劳动合同到期前的处理对于用人单位和劳动者都至关重要。用人单位应依法履行通知义务，并按规定支付经济补偿金（若需要）；劳动者也应了解自己的权益，确保在合同终止时得到应有的保障。如有任何疑问或争议，比如关于经济补偿金或赔偿金的具体数额、支付方式等，都可以直接向我咨询，我会为你提供详细的法律解答。