业主家里的公共下水管道漏水，赔偿责任的归属需根据具体情况来判断，主要有以下几种情况：
若漏水是由于物业公司的管理不善或维护不当导致：
- 根据《物业管理条例》等相关规定，物业公司有义务对小区的公共设施进行定期维护和保养。如果公共下水管道漏水是由于物业公司未尽到管理职责，如未及时清理管道堵塞、未定期检查管道状况等，那么物业公司应当承担相应的赔偿责任。
- 举例：如果物业公司长时间未对公共下水管道进行清理，导致管道堵塞并引发漏水，那么由此造成的损失应由物业公司负责赔偿。
若漏水是由于其他业主的不当使用或故意破坏导致：
- 如果漏水是由于其他业主在使用公共下水管道时不当操作，如乱倒杂物、故意破坏管道等，那么该业主应当承担赔偿责任。
- 举例：某业主在装修时，不慎将建筑垃圾倒入公共下水管道，导致管道堵塞并漏水，那么该业主应负责赔偿因此造成的损失。
若漏水是由于管道自然老化或不可抗力因素导致：
- 如果公共下水管道漏水是由于管道自然老化、磨损或不可抗力因素（如地震、洪水等）导致，那么通常不属于任何一方的过错，此时可能需要根据具体情况，由业主、物业公司或相关保险机构共同分担损失。
- 举例：在极端天气条件下，如暴雨导致小区排水系统超负荷运行，公共下水管道因压力过大而破裂漏水，这种情况下，损失可能需要根据实际情况由多方共同承担。
在处理此类纠纷时，建议业主采取以下步骤：
- 及时拍照取证：发现漏水后，第一时间拍照或录像记录漏水情况，以及造成的损失，为后续维权提供证据。
- 联系物业公司：立即通知物业公司，要求其派人前来检查并处理漏水问题。同时，要求物业公司出具书面报告，说明漏水原因及责任归属。
- 协商赔偿：根据漏水原因及责任归属，与责任方（物业公司或其他业主）协商赔偿事宜。如果协商不成，可以寻求第三方调解或提起诉讼。
- 保留相关证据：在处理过程中，保留好所有与漏水事件相关的证据，如照片、视频、书面报告、沟通记录等，以备不时之需。
若遇到复杂情况或无法确定责任归属时，建议业主及时咨询专业律师，以便更准确地判断责任方并维护自身合法权益。我是杨榭律师，专注于婚姻家庭、合同纠纷、房产纠纷领域，如果你有相关法律问题，可以直接向我咨询。