结论前置：双方互相辱骂，即使隔天再次发生，若情节严重，均可能构成违法，需要承担相应的法律责任。

分析说明：

1. 辱骂行为的性质：

   • 辱骂他人，尤其是公然辱骂，可能侵犯对方的名誉权和人格尊严。根据《中华人民共和国刑法》第二百四十六条，以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，可能构成犯罪，需要承担刑事责任。
   • 即使不构成犯罪，辱骂行为也可能违反《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，需要接受行政处罚。

2. 证据的重要性：

   • 你提到自己有对方辱骂的证据，这是非常重要的。在法律纠纷中，证据是判断事实、划分责任的关键。你的证据将有助于证明对方的辱骂行为，从而维护你的合法权益。
   • 对方没有证据并不意味着其没有实施辱骂行为，但如果你有确凿的证据，将更有力地支持你的主张。

3. 法律责任的分析：

   • 如果对方的辱骂行为被认定为违法，根据情节的严重程度，对方可能面临刑事处罚或行政处罚。
   • 同时，你作为受害者，也有权要求对方承担民事责任，如赔偿精神损失等。

4. 后续行动建议：

   • 首先，你可以考虑向警方报案，提供你所掌握的证据，让警方进行调查和处理。
   • 如果警方认为不构成犯罪或不予立案，你仍然可以通过民事诉讼的方式维护自己的权益，向法院提起诉讼，要求对方承担民事责任。
   • 在整个过程中，建议你保持冷静和理智，避免再次发生冲突或激化矛盾。

综上所述，双方互相辱骂是违法的，你有权通过法律途径维护自己的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。