结论：欠款人死亡时，担保人的责任承担需根据具体情况和法律规定来确定，主要包括一般保证和连带责任保证两种情形，同时需考虑债务人遗产的继承情况。

一、担保方式对责任承担的影响

1. 一般保证

   • 定义与责任范围：在一般保证中，担保人在债务人不能履行债务时承担补充责任。这意味着，在主合同纠纷未经审判或仲裁，并就债务人财产依法强制执行仍不能履行债务前，担保人通常有权拒绝承担责任。
   • 债务人死亡后的处理：若债务人死亡后其遗产继承人继承了遗产，则需在遗产实际价值范围内清偿债务。当债务人遗产不足以清偿债务时，债权人需先通过诉讼等方式确定债务人遗产的执行情况。在对债务人遗产强制执行后仍不能履行债务时，一般保证的担保人需对未清偿部分承担保证责任。

2. 连带责任保证

   • 定义与责任范围：在连带责任保证中，担保人与债务人对债务承担连带清偿责任。债权人可以直接要求连带责任保证人承担保证责任，无需先执行债务人遗产。
   • 债务人死亡后的处理：债务人死亡后，债权人可直接要求连带责任保证人承担全部债务。连带责任保证人不享有先诉抗辩权，需与债务人共同对债权人负责。

二、债务人遗产继承情况对责任承担的影响

1. 债务人死亡且有遗产可供继承

   • 遗产范围内清偿：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。因此，如果债务人有遗产可供继承，债权人可以要求债务人的继承人在遗产范围内清偿债务。此时，担保人仍需在原担保范围内承担责任，但债权人的债权应首先通过债务人的遗产进行清偿。
   • 担保人追偿权：如果担保人承担了担保责任，有权向债务人的继承人追偿，但追偿范围限于继承人所继承的遗产价值。

2. 债务人死亡且无遗产或遗产不足以清偿债务

   • 担保人直接担责：如果债务人没有遗产或者遗产不足以清偿债务，债权人可以直接要求担保人承担担保责任。在此情况下，担保人的责任不因债务人的死亡而免除。
   • 无追偿对象：由于债务人已死亡且无遗产可供执行，担保人承担担保责任后无法向债务人追偿。但这并不影响担保人向其他可能存在的反担保人或其他共同担保人主张权利（如有）。

三、特别注意事项

• 担保合同约定：担保合同中可能包含关于债务人死亡时担保责任承担的特殊约定。如果合同中有明确约定，应按照合同约定处理。
• 法律程序：若担保人拒绝承担责任，债权人可通过诉讼等方式维护自身权益。在此过程中，需提供充分的证据证明担保合同的有效性及债务人的违约事实。

四、实际操作建议

1. 审查担保合同：在处理此类纠纷时，应首先审查担保合同的条款，明确担保方式、责任范围及是否存在免责事由。
2. 评估债务人遗产：了解债务人的遗产状况，判断其是否足以清偿债务。若遗产不足，则需考虑向担保人追偿。
3. 及时采取法律措施：在债务人死亡后，债权人应及时采取法律措施，如申请财产保全、提起诉讼等，以维护自身权益。

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