结论：私人不可以随意占用农田修公路，这一行为是否合法需根据具体情况判断，但未经合法审批擅自占用农田修路是违法的。以下是对此问题的详细分析：
一、一般情况下的违法性
耕地保护原则：
- 农田，特别是耕地，受到严格的法律保护。我国实行耕地保护制度，禁止任何单位或个人未经批准擅自改变耕地的用途。
- 私人占用农田修路，若未经相关部门审批，即属于擅自改变土地用途的行为，这违反了耕地保护原则，因此是违法的。
法律后果：
- 根据《中华人民共和国刑法（2023修正）》第三百四十二条的规定，违反土地管理法规，非法占用耕地等农用地，改变被占用土地用途，数量较大，造成耕地等农用地大量毁坏的，处五年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金。
- 此外，根据《中华人民共和国土地管理法》的相关规定，非法占用耕地修路还可能面临责令停止违法行为、限期拆除新建物、恢复土地原状等行政处罚。
二、合法情况下的修路
依法取得审批：
- 如果私人修路经过了县级以上人民政府自然资源主管部门等相关部门的审批，并办理了合法的农用地转用手续，那么修路占用农田就是合法合规的。
- 在此过程中，还需按照规定进行补偿安置等工作，确保土地权益人的合法权益得到保障。
特殊用途的合法性：
- 如果修路是为了农业生产服务，且直接用于农业生产设施用地范畴（如农业园区内连接各生产区域的道路等），并符合相关规划和用地标准，经过备案等程序后，也可以合理使用农田进行修路。但这种情况较为特殊，且需严格符合相关条件。
三、实际操作建议
咨询与审批：
- 在修路前，务必咨询当地土地管理部门或专业律师的意见，了解相关法律法规和审批程序。
- 如果确实需要占用农田修路，应按照法定程序向相关部门提出申请，并等待审批结果。
保留证据与维权：
- 在处理过程中，应保留好土地使用证、照片、证人证言等相关证据，以便在必要时维护自己的合法权益。
- 如果发现他人非法占用农田修路，也可以向相关部门举报，维护公共利益和耕地保护制度。
总结与建议：私人占用农田修路是否合法，关键在于是否经过了合法的审批程序以及是否符合相关规划和用地标准。因此，在进行修路前，务必充分了解法律规定，并按照法定程序办理相关手续。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。