法定监护人，在大多数情况下，特别是针对未成年子女，是不能随意放弃监护权的。这是因为监护权不仅关乎到被监护人的基本权益，如人身安全和财产保护，还涉及到被监护人的成长和教育等重要方面。

首先，我们要明确的是，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务，且父母是未成年子女的法定监护人。这一规定体现了父母在未成年人成长过程中的重要责任和角色，也是保障未成年人权益的重要法律基础。

然而，虽然父母不能随意放弃监护权，但在某些特殊情况下，如父母有特殊困难无力抚养子女时，他们可以通过合法的送养程序，将子女的监护权依法转移给其他有能力的收养人。这种情况下，送养人应视为放弃了对未成年子女的监护权，但这是基于法律的规定和程序的，并非随意放弃。

另外，对于夫妻离婚后的情况，虽然抚养权可能会发生变化，但监护权并不会因此而改变。未与未成年子女共同生活的一方仍然拥有监护权，这是因为抚养权和监护权是两个不同的法律概念。抚养权主要关注的是子女的日常生活照料，而监护权则更侧重于对子女的人身和财产权益的保护。因此，即使父母离婚，他们仍然对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。

总的来说，法定监护人不能随意放弃监护权，这是为了保障被监护人的基本权益和健康成长。但在某些特殊情况下，如送养或离婚等，监护权可能会依法发生转移或变更。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，我建议您咨询专业的法律人士或机构。