结论：客户合同丢失后补合同，不一定需要开遗失证明，具体是否需要取决于合同相对方的要求以及补签合同的具体流程。以下从不同角度进行分析：
一、合同相对方的要求
若合同相对方要求提供遗失证明：
- 在这种情况下，为了顺利补签合同，您可能需要按照对方的要求，前往相关部门（如公安机关、合同签订地的公证处等）开具遗失证明。遗失证明通常用于证明原合同确实已经丢失，且非因您故意隐瞒或销毁而丢失。
- 开具遗失证明的具体流程可能因地区而异，一般需要您提供身份证明、合同相关信息（如合同编号、签订日期等）以及丢失情况的说明。
若合同相对方不要求提供遗失证明：
- 如果对方对补签合同没有特定要求，或者双方已经就补签合同的具体事宜达成一致，那么您可能无需开具遗失证明。
- 在这种情况下，双方可以基于诚信原则，直接协商补签合同的内容，并签署新的合同文本。
二、补签合同的具体流程
协商补签内容：
- 无论是否需要开具遗失证明，双方首先需要就补签合同的具体内容进行协商。这包括原合同中的主要条款、双方的权利义务、违约责任等。
- 协商过程中，双方应确保补签合同的内容与原合同保持一致，或者根据实际情况进行必要的调整。
签署新合同文本：
- 协商一致后，双方应签署新的合同文本。新合同应明确标注为“补签合同”，并注明原合同的签订日期、编号等信息，以便区分和识别。
- 签署新合同时，双方应确保签署人的身份真实有效，且签署行为符合法律法规的规定。
三、法律建议
及时沟通：
- 一旦发现合同丢失，您应立即与合同相对方取得联系，说明情况并询问对方对补签合同的具体要求。
- 通过及时沟通，您可以了解对方的需求和期望，从而有针对性地准备相关材料和手续。
保留证据：
- 在补签合同的过程中，您应保留好所有与补签合同相关的证据和材料，如协商记录、新合同文本、遗失证明（如需要）等。
- 这些证据和材料在后续可能发生的纠纷中具有重要的证明作用。
寻求专业帮助：
- 如果您对补签合同的具体流程或法律条款存在疑问或不确定之处，建议寻求专业律师的帮助。
- 律师可以为您提供专业的法律意见和指导，帮助您顺利完成补签合同的手续并降低法律风险。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。