结论：与员工第一次签订一年的合同自动到期未续签，用人单位是否需要承担责任，这主要取决于是否及时与员工办理了终止劳动合同的手续以及是否支付了相应的经济补偿。以下分情况详细说明：
及时办理终止手续并支付经济补偿
- 法律背景：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，劳动合同即行终止。用人单位应当在劳动合同终止时，依法向劳动者支付经济补偿（除非用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形除外）。
- 具体做法：若用人单位在劳动合同到期前或到期时，明确告知员工合同不再续签，并依法办理了终止劳动合同的手续，同时按照员工在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付了经济补偿，那么用人单位无需承担额外责任。
- 例子：假设员工在公司工作了一年，合同到期时公司决定不再续签，并提前告知了员工，同时支付了一个月的工资作为经济补偿，那么公司就无需再承担其他责任。
未及时办理终止手续或未支付经济补偿
- 法律背景：如果用人单位未在劳动合同终止时依法办理终止手续，或者未支付经济补偿，那么根据《劳动合同法》的规定，用人单位可能需要承担一定的法律责任，如支付赔偿金等。
- 具体后果：若用人单位未及时办理终止手续，员工可能会继续在公司工作，形成事实劳动关系，此时若用人单位再想终止劳动关系，可能需要支付更多的经济补偿或赔偿金。若用人单位未支付经济补偿，员工有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付。
- 例子：假设员工合同到期后，公司未明确告知员工合同不再续签，也未办理终止手续，员工继续在公司工作了一个月。此时，若公司决定终止劳动关系，可能需要支付员工一个半月的工资作为经济补偿（一个月的工作年限补偿加上一个月未及时办理终止手续的额外补偿，具体数额可能因地区和具体案情而异）。若公司未支付任何补偿，员工申请仲裁后，公司可能还需支付赔偿金。
特殊情况：员工主动提出不续签
- 法律背景：如果劳动合同到期时，是员工主动提出不续签劳动合同，那么根据《劳动合同法》的规定，用人单位无需支付经济补偿。
- 具体做法：用人单位应确保有证据证明是员工主动提出不续签，如员工书面的不续签申请等，以避免后续纠纷。
建议：为了避免不必要的法律纠纷和损失，用人单位在劳动合同到期前应提前与员工沟通，明确是否续签劳动合同。若决定不续签，应及时办理终止手续并支付经济补偿；若决定续签，应尽快与员工签订新的劳动合同。同时，用人单位应保留好相关证据，如终止劳动合同的通知、经济补偿的支付凭证等，以备不时之需。
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