构成故意杀人罪且自首的情况下，最低可能判处的刑期需根据具体案情综合判断，无法直接给出固定年限，但可以从法律框架和量刑因素角度进行详细分析：

一、故意杀人罪的基本量刑规定

根据《中华人民共和国刑法》第二百三十二条的规定，故意杀人的，处死刑、无期徒刑或者十年以上有期徒刑；情节较轻的，处三年以上十年以下有期徒刑。这是故意杀人罪的基本量刑框架，为后续的司法实践提供了法律依据。

二、自首对量刑的影响

自首是刑法中的一个重要量刑情节。根据《刑法》第六十七条的规定，对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。在故意杀人案件中，自首的具体表现，如主动投案、如实供述罪行等，将成为法院量刑时的重要考量因素。

三、具体量刑情况的分析

1. 罪行极其严重的情况：

   • 对于手段特别残忍、社会影响极其恶劣的故意杀人案件，即使犯罪人有自首情节，也可能面临较重的刑罚，甚至死刑。这是因为这类案件的社会危害性极大，需要法律予以严厉制裁以维护社会秩序和公共安全。

2. 犯罪情节严重但未达到死刑立即执行程度的情况：

   • 在此类案件中，法院可能会结合自首情节，对犯罪人适当从轻处罚，如判处无期徒刑或者十年以上有期徒刑。自首的具体表现和犯罪人的悔罪态度将成为量刑时的重要参考。如果自首表现积极，且犯罪人表现出真诚的悔罪态度，法院可能会在量刑时给予更大的从轻幅度。

3. 情节较轻的故意杀人案件：

   • 如果犯罪人同时有自首情节，法院可能会在三年以上十年以下有期徒刑的幅度内量刑。此时，自首将成为减轻刑罚的关键因素之一。例如，如果是基于义愤杀人或邻里纠纷引发的杀人行为，且被认定为情节较轻，同时又有自首情节，法院可能会在量刑时给予较大的从轻幅度，甚至有可能在接近三年有期徒刑的幅度内量刑。

四、其他影响量刑的因素

除了自首外，法院在量刑时还会考虑其他可能影响刑罚轻重的因素，如：

• 犯罪动机：如为图财、奸情等卑劣动机杀人，与基于义愤或防卫过当杀人，在量刑时会有所区别。
• 犯罪手段：使用极端残酷手段杀人与使用一般手段杀人，量刑时也会有所不同。
• 犯罪后果：杀人行为造成的实际后果，如被害人的死亡情况、家庭影响以及社会反响等，也是量刑时的重要考量因素。
• 被告人个人情况：包括其前科记录、平时表现、社会危害性等，这些因素将影响法院对被告人再犯可能性的评估，进而影响量刑的轻重。
• 被害人谅解：如果犯罪人能够积极赔偿损失并取得被害人谅解，法院在量刑时可能会给予更大的从轻幅度。

五、法律建议

由于故意杀人后自首的判刑年限是一个复杂的司法判断过程，需要综合考虑案件的具体情况、犯罪人的主观恶性、社会危害性以及自首的具体表现和其他可能影响量刑的因素。因此，如果你或你身边的人面临类似的问题，建议直接向我咨询，我会根据具体案情，结合法律法规和司法实践，为你提供专业的法律分析和建议。

综上所述，构成故意杀人罪且自首的情况下，最低可能判处的刑期需根据具体案情综合判断。每个案件都有其独特性，判决结果会根据案件的具体情况而有所不同。