结论是：买的1500块钱的狗被偷走，偷狗者的行为是犯法的，可能构成盗窃罪，需要承担相应的法律责任。以下从多个角度进行分析：
一、法律定性
盗窃罪的构成：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，盗窃罪是指以非法占有为目的，秘密窃取数额较大的公私财物或者多次秘密窃取公私财物的行为。在这个案例中，偷狗者以非法占有为目的，秘密窃取了您价值1500元的狗，如果该价值达到当地盗窃罪的立案标准（一般而言，各地会根据经济发展水平等因素制定具体的立案标准，1500元在很多地方已经达到或超过盗窃罪的立案标准），则偷狗者的行为构成盗窃罪。
财产权的保护：
- 狗作为您的个人财产，受到法律的保护。偷狗者的行为侵犯了您的财产权，您有权要求偷狗者承担相应的法律责任。
二、法律责任
刑事责任：
- 如果偷狗者的行为构成盗窃罪，将面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。具体刑罚将根据盗窃的数额、情节以及偷狗者的犯罪前科等因素综合确定。
民事责任：
- 无论偷狗者的行为是否构成犯罪，您都有权要求其承担民事赔偿责任。您可以向偷狗者主张返还被偷的狗或者赔偿相应的经济损失（如狗的购买价值、饲养费用等）。
三、实际操作建议
报警处理：
- 一旦发现狗被偷走，应立即报警。警方将展开调查，并尽可能追回被偷的狗。如果警方能够抓获偷狗者，将为其违法行为付出法律代价。
收集证据：
- 在报警的同时，您应尽可能收集与狗被偷相关的证据，如监控录像、目击者证言、购买狗的凭证等。这些证据将有助于警方调查案件，并为您主张民事赔偿提供有力支持。
咨询律师：
- 如果您对法律程序或赔偿问题存在疑问，可以向我咨询。我可以根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和帮助。
四、特殊情况考虑
- 如果偷狗者是未成年人或者精神病人等无刑事责任能力人，虽然其可能不承担刑事责任，但您仍然可以要求其监护人承担民事赔偿责任。
- 如果偷狗者将狗转卖给他人，您还可以向购买者主张返还狗或者赔偿经济损失（如果购买者明知是赃物而购买的话）。不过，在实际操作中，这可能需要您提供充分的证据来证明购买者的明知情况。
总结来说，买的1500块钱的狗被偷走，偷狗者的行为是犯法的，可能构成盗窃罪。您有权要求偷狗者承担刑事责任和民事赔偿责任。在实际操作中，建议您立即报警并收集相关证据，以便更好地维护自己的合法权益。如果您对法律程序或赔偿问题存在疑问，可以直接向我咨询。