结论：子女继承的是父亲去世时所遗留的合法财产，具体包括父亲去世时个人名下的房产、存款、车辆、投资收益等，但需注意，某些财产可能因特殊情况而不被纳入继承范围。

详细分析：

1. 继承财产的时间点：

   • 子女继承父亲财产的时间点是父亲去世时。这意味着，只有父亲在去世时所拥有的合法财产，才能作为遗产进行继承。

2. 继承财产的范围：

   • 个人财产：包括父亲去世时个人名下的房产、存款、车辆、投资收益（如股票、基金等）、贵重物品（如珠宝、艺术品等）以及其他具有经济价值的财产。
   • 共同财产中的份额：如果父亲与母亲或其他家庭成员共有财产，如共同购买的房产或车辆，子女只能继承父亲在该共同财产中的份额。例如，若房产为父母共同所有，子女则继承父亲所占的50%份额。
   • 特殊财产的处理：
     • 保险金：如果父亲购买了人寿保险，且指定了子女为受益人，那么保险金将直接支付给子女，不属于遗产范围，但同样是在父亲去世时确定支付。
     • 抚恤金、丧葬费：这些费用通常是在父亲去世后由单位或社保部门发放，用于安抚家属或支付丧葬费用，不属于遗产，但子女可能作为家属之一有权领取或分配。
     • 债务处理：在继承父亲财产的同时，子女也可能需要承担父亲生前的债务，但仅以继承的遗产为限。如果遗产不足以清偿债务，子女无需用个人财产偿还。

3. 继承过程中的注意事项：

   • 遗嘱继承：如果父亲生前立有遗嘱，且遗嘱合法有效，那么子女将按照遗嘱的指示继承财产。遗嘱可以指定特定的子女继承特定财产，或者排除某些子女的继承权。
   • 法定继承：如果父亲没有立遗嘱，或者遗嘱无效，那么子女将按照法定继承顺序继承财产。通常，子女是第一顺序继承人，与父母、配偶共同继承遗产。
   • 继承权公证：在办理继承手续时，可能需要提供继承权公证，以证明子女是合法的继承人。这通常涉及提供父亲的死亡证明、亲属关系证明等文件。
   • 税务处理：继承财产可能涉及税务问题，如遗产税（虽然目前中国未开征遗产税，但未来政策可能变化）。此外，如果继承的财产在后续出售或转让时产生收益，可能需要缴纳个人所得税或资本利得税。

建议：

• 在处理父亲遗产时，建议子女们首先协商一致，明确各自的继承意愿和份额。
• 如果涉及复杂财产或债务问题，或者子女之间存在争议，建议咨询专业律师，以确保继承过程的合法性和公正性。
• 保留好所有相关文件和证据，如父亲的死亡证明、财产证明、遗嘱（如有）等，以便在需要时提供证明。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。