结论：业主不经过其他业主同意在地下私人车库安装监控是否合法，需分情况讨论，主要取决于监控的安装位置、监控范围以及是否侵犯他人合法权益等因素。

1. 若监控安装在业主自有产权范围内且未侵犯他人权益：

   • 法律分析：根据《民法典》中关于物权的规定，业主对其自有产权范围内的空间享有占有、使用、收益和处分的权利。如果监控安装在业主自己的车位或车库内，且监控范围仅限于该业主的自有空间，未拍摄到其他业主的私有区域或公共区域，那么这种安装行为通常被认为是合法的，因为这并未侵犯其他业主的合法权益。
   • 建议：在此情况下，业主无需获得其他业主的同意即可安装监控，但建议业主在安装前了解并遵守小区的相关管理规定，以避免不必要的纠纷。

2. 若监控安装在公共区域或侵犯他人权益：

   • 法律分析：如果监控安装在地下车库的公共区域，如通道、出入口等，或者监控范围超出了业主的自有空间，拍摄到了其他业主的私有区域或公共区域，那么这种安装行为就可能侵犯其他业主的隐私权、肖像权等合法权益。根据《民法典》的相关规定，任何组织或者个人不得以刺探、侵扰、泄露、公开等方式侵害他人的隐私权。因此，未经其他业主同意，在公共区域安装监控可能构成违法行为。
   • 建议：在此情况下，业主应事先与其他业主或小区物业进行沟通，获得他们的同意后再进行安装。如果无法获得同意，或者安装行为已经引发了纠纷，建议业主及时拆除监控设备，并寻求法律途径解决纠纷。

3. 关于小区物业的管理责任：

   • 法律分析：小区物业作为小区的管理者，有责任维护小区的公共秩序和安全。如果业主在地下车库安装监控的行为违反了小区的管理规定或者侵犯了其他业主的合法权益，物业有权要求业主停止安装行为或者拆除已安装的监控设备。
   • 建议：业主在安装监控前，应了解并遵守小区的相关管理规定。如果物业提出异议或要求拆除监控设备，业主应积极配合，避免引发不必要的法律纠纷。

进一步思考：在处理此类纠纷时，除了考虑法律因素外，还应考虑邻里关系、小区和谐等因素。建议业主在安装监控前与其他业主进行充分沟通，尽量达成共识，以维护良好的邻里关系和小区环境。如果遇到纠纷无法解决，可以向相关部门投诉或寻求法律途径解决。

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