结论：在法律上，“断绝关系”的声明通常不影响继承权，除非符合《中华人民共和国民法典》中明确规定的丧失继承权的情形。下面我将从不同亲属关系的角度为你详细分析：
自然血亲关系（如父母与子女）
- 关系性质：自然血亲关系是基于出生事实形成的，无法通过法律行为或双方约定来解除。因此，即便双方宣称“断绝关系”，这种声明在法律上是无效的，不影响子女对父母遗产的法定继承权。
- 继承权：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，子女是父母遗产的第一顺序继承人。这意味着，在没有丧失继承权的法定情形下，子女始终享有对父母遗产的继承权。
- 丧失继承权的情形：包括故意杀害被继承人、为争夺遗产而杀害其他继承人、遗弃或虐待被继承人情节严重、伪造或篡改遗嘱情节严重等。若子女存在这些行为，将丧失继承权。
拟制血亲关系（如养父母与养子女）
- 关系性质：拟制血亲关系是通过法律行为或特定事实形成的，如收养。这种关系可以依法解除。
- 解除后的效果：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百一十七条，收养关系解除后，养子女与养父母间的权利义务关系消除，养子女不再享有对养父母遗产的法定继承权。同时，与生父母间的权利义务关系是否恢复需视情况而定。
姻亲关系（如婆媳、翁婿等）
- 一般情况：姻亲关系本身不当然具有法定继承权。
- 特殊情况：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十九条，丧偶儿媳对公婆、丧偶女婿对岳父母尽了主要赡养义务的，可作为第一顺序继承人。若“断绝关系”且不再尽赡养义务，可能丧失此特殊继承权。
遗嘱对继承权的影响
被继承人可以通过订立遗嘱自由处分自己的财产，指定继承人及继承份额。若遗嘱中明确表示不让某一继承人继承，则该继承人将不能按遗嘱继承相应遗产。但遗嘱的订立必须合法有效，且不得违反法律的强制性规定。
建议：在处理涉及继承权的问题时，应严格遵循法律规定，尊重被继承人的意愿。若你面临具体的继承纠纷或疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议和帮助。