继母可以继承父亲的哪些财产，主要取决于她与父亲之间是否存在合法的婚姻关系，以及父亲是否立有有效的遗嘱来排除其继承权。在合法婚姻且未通过遗嘱排除的情况下，继母作为配偶享有法定第一顺序继承权。以下从不同情况为您详细分析：
一、法定继承情况
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产的继承顺序如下：
- 第一顺序：配偶、子女、父母。其中，配偶包括经过合法登记的婚姻关系中的另一方。
- 第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
若继承开始，首先由第一顺序继承人进行继承；在第一顺序继承人不存在时，才由第二顺序继承人继承。因此，如果继母与父亲已经进行了合法登记结婚，那么她作为父亲的配偶，自然属于第一顺序继承人，有权参与父亲遗产的分配。这里的“遗产”指的是父亲死亡时遗留的所有个人合法财产，包括但不限于房产、存款、车辆、股票、基金等。
二、遗嘱继承情况
尽管法定继承规定了继承顺序，但如果父亲生前立下了有效遗嘱，并且遗嘱中明确指定了遗产的继承人及分配方式，那么遗嘱继承将优先于法定继承执行。这意味着：
- 如果遗嘱中指定了继母为继承人之一，或者未明确排除她的继承权，则继母可以按照遗嘱的内容继承相应的遗产份额。
- 如果遗嘱中明确排除了继母的继承权，或者将全部遗产指定由其他继承人继承，则继母无权依据该遗嘱继承父亲的遗产。不过，对于遗嘱未涉及的遗产部分，继母仍可按法定继承的规定参与分配。
三、特殊情况说明
- 非合法婚姻关系：如果继母与父亲仅是同居关系，并未办理结婚登记手续，那么他们之间不构成法律上的夫妻关系。在这种情况下，继母通常不具备以配偶身份继承父亲遗产的法律资格。但法院可能会基于实际情况和道义考量，酌情分给继母一部分遗产，这并非基于继承权，而是基于公平原则或道义上的补偿。
- 继母对母亲遗产的继承权：继母对于母亲的遗产一般没有继承权，因为她们之间不存在法定的继承关系。母亲的遗产应由其自己的法定继承人（如配偶、子女、父母等）按照法律规定进行继承。
法律建议
- 确认婚姻关系：首先，需要确认继母与父亲之间是否存在合法的婚姻关系，这是继母享有继承权的基础。
- 查找遗嘱：如果父亲生前可能立有遗嘱，应尽快查找并确认遗嘱的真实性和有效性。遗嘱的内容将直接影响继母的继承权。
- 协商或诉讼：在继承过程中，如果家庭成员之间对遗产分配存在争议，可以尝试通过协商解决。如果协商无果，可以向法院提起诉讼，由法院根据法律规定和实际情况作出判决。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您在继承过程中遇到任何法律问题或困惑，可以直接向我咨询，我会为您提供专业的法律意见和指导。