结论：即使没有签订书面合同，在符合一定条件下仍然可以申请仲裁，具体分为劳动仲裁和其他纠纷仲裁两种情况。
一、劳动仲裁情况
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条，因确认劳动关系，以及订立、履行、变更、解除和终止劳动合同等发生的争议，均适用该法。这意味着，即使未签订书面劳动合同，劳动者与用人单位之间因劳动关系产生的纠纷，仍然可以通过劳动仲裁途径解决。
申请条件：
- 存在事实劳动关系：虽然未签订书面劳动合同，但劳动者需证明与用人单位之间存在事实劳动关系。这通常可以通过工资支付记录、考勤记录、工作证、服务证、同事证言等证据来证实。
- 符合仲裁时效：劳动仲裁的申请时效一般为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者需在规定时效内提出仲裁申请。
- 明确仲裁请求：劳动者需明确自己的仲裁请求，如要求确认劳动关系、支付双倍工资差额、补缴社会保险等。
申请流程：
- 提交申请书：劳动者需向当地劳动争议仲裁委员会提交书面仲裁申请书，并按照被申请人人数提交副本。申请书中应载明劳动者的姓名、性别、年龄、职业、工作单位和住所，用人单位的名称、住所和法定代表人或者主要负责人的姓名、职务；仲裁请求和所根据的事实、理由；证据和证据来源、证人姓名和住所等内容。
- 仲裁受理：仲裁委员会在收到仲裁申请后，会进行审查并决定是否受理。如果决定受理，会在五日内将仲裁申请书副本送达被申请人。
- 开庭审理：仲裁庭会安排开庭时间，双方当事人需按时出庭参加审理。在审理过程中，双方可以进行举证、质证和辩论。
- 仲裁裁决：仲裁庭会根据审理情况作出仲裁裁决。如果劳动者对裁决结果满意，而用人单位不履行裁决义务，劳动者可以向人民法院申请强制执行。如果对裁决结果不满意，劳动者还可以在法定期限内向人民法院提起诉讼。
二、其他纠纷仲裁情况
法律依据：
- 根据《中华人民共和国仲裁法》第二十一条，当事人申请仲裁应当符合下列条件：有仲裁协议；有具体的仲裁请求和事实、理由；属于仲裁委员会的受理范围。这意味着，即使没有书面合同，但只要存在有效的仲裁协议，并且满足其他条件，仍然可以申请仲裁。
申请条件：
- 存在仲裁协议：这是启动仲裁程序的前提，即使是口头约定，只要能证明其存在也有效。不过，在实际操作中，书面仲裁协议更为常见且易于证明。
- 具备明确的仲裁请求和事实理由：申请人需清晰阐述仲裁请求及支撑该请求的事实和理由。
- 争议属于仲裁委员会的受理范围：确保所选仲裁机构对争议具有管辖权。
证据要求：
- 在没有书面合同的情况下，申请人需要提供其他证据来证明合同关系及具体约定。这些证据可能包括交易凭证、沟通记录、证人证言等。证据应能够证明一方已履行合同义务，另一方接受，并且双方之间存在争议。
建议：
- 保留证据：无论是在劳动纠纷还是其他纠纷中，保留相关证据都是至关重要的。证据是证明事实劳动关系或合同关系存在的关键。
- 及时行动：在发现自己的权益受到侵害时，应及时采取行动，包括咨询专业律师（即我本人）、收集证据、准备仲裁申请等。不要拖延时间，以免错过仲裁时效。
- 了解流程：在申请仲裁前，应了解仲裁的流程和要求，以便更好地准备和参与仲裁过程。
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