关于“法人是否可以做精神病监护人”的问题，这需要我们从法律的角度进行详细分析。
首先，我们要明确的是，法人本身并不能直接作为精神病人的监护人。监护制度主要是为了保护无民事行为能力人和限制民事行为能力人的合法权益而设立的，这些人群由于年龄、智力或精神健康状况的原因，无法独立进行民事活动，需要他人的监督和保护。在大多数情况下，监护人是由自然人担任的，如父母、子女、其他近亲属等。
然而，在特定情况下，组织机构（包括法人单位）也有可能成为监护人。这通常发生在法定顺位监护人多年缺失，且无人履行监护职责的情况下。此时，如果某个组织机构（如精神病人的原工作单位、住所地的居民委员会、村民委员会或民政部门等）已经与被监护人形成了长期的基本生活依赖，并实际担负了监护责任，那么该组织机构可以通过法律程序被指定为监护人。
以您提供的案例为例，李某某因精神分裂症长期住院，无亲属联系和监护，一直由其原单位甲股份有限公司负责监护。在这种情况下，甲股份有限公司向法院申请确认其为李某某的监护人，并最终得到了法院的判决支持。这是因为甲股份有限公司已经实际承担了保护被监护人身体健康、照顾生活、管理和保护财产等监护职责，且法定顺位监护人多年缺失。
总结来说：
希望这个解答能够帮助您更好地理解法人是否可以做精神病监护人的问题。如果您还有其他疑问或需要进一步的法律建议，请随时咨询。