结论：工商银行融e借逾期一个月内且未失联的情况下，银行不一定会直接打家属电话，但存在这种可能性，具体取决于多种因素。

分析说明：

1. 银行催收流程：

   • 通常情况下，银行在贷款逾期后，会首先通过短信、电话或邮件等方式直接联系借款人本人，提醒其尽快还款。
   • 如果借款人未及时回应或还款，银行可能会采取更进一步的催收措施，这包括联系借款人的紧急联系人或家属，但这一步骤通常是在借款人长时间失联或拒绝还款后才会考虑。

2. 逾期时间与失联状态：

   • 逾期一个月内，且借款人未失联，银行更可能通过直接联系借款人的方式来催收贷款，因为此时银行认为通过借款人本人解决问题是最直接、最有效的方式。
   • 如果借款人虽然逾期但保持联系，并表达了还款意愿或提供了合理的还款计划，银行通常会给予一定的宽限期，而不会立即采取更激烈的催收措施。

3. 银行政策与实际操作：

   • 不同银行对于逾期贷款的催收政策可能有所不同，但一般来说，银行都会遵循一定的合规流程，尊重借款人的隐私权。
   • 在实际操作中，银行可能会根据借款人的逾期情况、还款记录、信用状况等因素来综合判断是否需要联系借款人的家属。

4. 法律与合规考虑：

   • 银行在催收过程中必须遵守相关法律法规，包括但不限于《中华人民共和国合同法》、《中华人民共和国消费者权益保护法》等，这些法律法规对银行的催收行为进行了规范，保护了借款人的合法权益。
   • 银行在联系借款人家属时，也必须确保信息的准确性和合法性，避免侵犯借款人的隐私权或造成不必要的困扰。

建议与行动：

• 保持沟通：如果您是融e借的借款人且面临逾期情况，建议您保持与银行的沟通，及时告知银行您的还款计划和困难，以争取更多的理解和支持。
• 了解政策：您可以主动了解工商银行的催收政策和流程，以便更好地应对可能的催收措施。
• 寻求帮助：如果您在还款过程中遇到困难或需要法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。

后续思考：

• 逾期还款不仅可能影响您的个人信用记录，还可能带来额外的罚息和费用，因此建议您尽量按时还款，避免逾期。
• 如果您确实面临还款困难，可以考虑与银行协商制定合理的还款计划或寻求其他合法的解决方案。